MÉTODO NUMÉRICO PARA EL CÁLCULO DE LA CAPACITANCIA



MÉTODO NUMÉRICO PARA EL CÁLCULO DE LA CAPACITANCIA ENTRE DOS ELECTRODOS CORRUGADOS Y APLICACIONES.

Alicia Campos Hernández a, Alberto Mendoza Suárez b

a Preparatoria José Vasconcelos, Av. Madero Poniente, 641, Centro, 58000, Morelia, Michoacán, alicammx@yahoo.com

b Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas, UMSNH, Francisco J. Mújica, S/N, Col. Felícitas del Río, 58060,Morelia, Michoacán, almend@zeus.umich.mx


RESUMEN. El problema del cálculo de la capacitancia entre dos electrodos es importante en particular en la microscopía de fuerza atómica. Existen métodos, tanto aproximados como otros más rigurosos1, para calcular la capacitancia entre electrodos corrugados en el caso de ciertas geometrías. Nosotros presentamos un método numérico rigurosoque permite calcular dicha capacitancia para geometrías algo más generales que las resueltas en los trabajos que conocemos al respecto. Se presentan aplicaciones a la formación de imágenes de superficies conductoras unidimensionales.

1. INTRODUCCIÓN. El problema de la extracción de información de la medida de la capacitancia entre una superficie rugosa y un electrodo controlado esimportante en especial en la microscopía de fuerza atómica. Existen varios métodos para simular este problema. En este trabajo proponemos un método numérico para resolver algunos de estos problemas, el cual está inspirado por uno que hemos usado para cálculos de dispersión de luz por superficies rugosas. El desarrollo de este trabajo es como sigue. La sección 2 presenta el modelo delproblema conjuntamente con un breve desarrollo del método de solución. En la sección 3 aparecen los resultados numéricos de algunas aplicaciones del método. Finalmente, la sección 4 presenta las conclusiones de este trabajo.

2. MÉTODO NUMÉRICO USADO. En la figura 1 se representan dos electrodos conductores corrugados. Entre ambos se establece una diferencia de potencial que daorigen a un campo eléctrico en la región entre ellos.

Figura 1. Se muestran dos electrodos conductores. El electrodo que se encuentra a potencial representa una superficie conductora corrugada; el electrodo a potencial representa una “punta”.

Para calcular el campo eléctrico que existe en la región vacía (entre los electrodos) se utiliza el hecho de que en esa región elpotencial electrostático satisface la ecuación de Laplace. Usando las condiciones frontera para el potencial podemos usar algún método numérico para encontrar la solución. A partir del potencial se calcula el campo eléctrico y de ahí, en la forma conocida, se evalúa la densidad de carga y enseguida la carga de los electrodos. Con esto último y la diferencia de potencial, finalmente se calculala capacitancia del sistema. A continuación, mostraremos un método con el que se puede efectivamente hacer lo mencionado, sin embargo, por brevedad sólo lo aplicaremos en este trabajo al caso especial en el que la punta se supone que es una distribución lineal y uniforme de carga . En este caso el papel de la capacitancia lo tomará la simple diferencia de potencial entre loselectrodos.
Se tiene que por arriba de la superficie corrugada se satisface la ecuación de Poisson

(1)
y además la condición de frontera , donde C representa al perfil de la superficie. Para resolver el problema podemos usar un método que involucre a una función de Green, definida por

(2)
El método a usar está basado en el teorema de Green, que para el potencial y la función deGreen escribimos como


(3)


donde resulta que la función de Green está dada por


(4)
que básicamente es el potencial generado por una línea de carga (), ubicada en la posición , en el punto . De las expresiones anteriores, y considerando que la
densidad de carga lineal se puede representar por

(5)

en donde es la posición de la carga, se obtiene la expresión...