Método Simplex




Introducción
El método algebraico es muy dispendioso, en razón a que trabaja con todos los datos de las ecuaciones, para mejorar éste aspecto se creó el método simplex cuya gran virtud es su sencillez, método muy práctico, ya que solo trabaja con los coeficientes de la función objetivo y de las restricciones. Ilustraremos su funcionamiento mediante un ejemplo, pero previamentemostraremos las reglas de decisión para determinar la variable que entra, la que sale, la gran M, y cómo determinar que estamos en el óptimo; Todas éstas reglas de decisión fueron deducidas del método algebraico, solamente que aquí se han acomodado para ser usadas en el tipo de tablero simplex que se usará.


Adicionalmente se presentan las siguientes notas a tener en cuanta: Método Simplex
• Si en eltablero simplex de la solución óptima queda al menos una variable de Super avit ó artificial dentro de las variables básicas, con un valor > 0 , el problema no tiene solución, esto quiere decir que al menos existen dos restricciones excluyentes, por lo tanto no existe área de soluciones factible y menos una solución , en éste caso se debe revisar la formulación del problema.
• Si al escoger lavariable que sale, ninguna de las variables básicas restringe el crecimiento de la variable no básica escogida para entrar, el problema tiene solución indeterminada y se debe revisar la formulación en busca de una nueva restricción que no se tuvo en cuenta en la formulación inicial.
• Si en el tablero simplex del óptimo, al menos una de las variables no básicas tiene coeficiente cero (0) en lafunción objetivo, esto es su Zj – Cj = 0, el problema tiene múltiples soluciones y se nos está ofreciendo una de ellas.

Ejemplo 1
Maximizar Z = X1 + X2
C.S.R.
5X1 + 3X2 < 15
3X1 + 5X2 < 15
Xj > 0 ; j = 1, 2

Todo problema de programación lineal que se formule de la forma Maximice, con todas sus restricciones < y con la condición de no negatividad, se le llama Forma Estándar óForma Normal

Aquí, al igual que en el método algebraico, debemos conseguir una solución básica factible, empleando las variables de holgura y/o artificiales, quedando el sistema de ecuaciones así:

Maximizar Z = X1 + X2
C.S.R.
5X1 + 3X2 + X3 = 15
3X1 + 5X2 + X4 = 15
Xj > 0 ; j = 1,2,3,4

Las variables básicas son X3 y X4 y por su puesto en la función objetivo Z.
Este ejercicio es elejemplo 1 del capítulo de método algebraico. Compare los resultados entre los dos métodos.

A continuación construimos la siguiente tabla:

El valor de la función objetiva Z, se encuentra frente a la casilla de Zj – Cj , en éste caso vale cero (0) y se calcula multiplicando el vector fila (en la tabla es la columna inmediatamente anterior a la de las variables básica V.B.) que contiene loscoeficientes de 84Método Simplex las variables básicas en la función objetiva original por el vector columna de los términos independientes b
C XB = Vector fila de los coeficientes en la función objetivo original de las variables básicas actuales, sus valores se encuentran en la primera columna del tablero.
b = Vector columna de los términos independientes de las restricciones, que al mismotiempo son los valores de las variables básicas actuales, sus valores se encuentran bajo la columna denominada b



El valor de los Zj – Cj se calcula multiplicado el vector fila CxB por el vector apuntador aj de la columna de la variable j-ésima, menos el Cj, esto es:
Recuerde que la columna de b/a se calcula, siempre y cuando el denominador sea a > 0 ; de lo contrario la variable básicarespectiva no restringe el valor de la variable escogida para entrar, los valores de a, están en el respectivo vector apuntador de la variable j-ésima 85Método Simplex escogida para entrar, en ésta iteración son 5 y 3 y el calculo respectivo 15/5 = 3 y 15/3 = 5;
Lo que significa que la variable básica X3 restringe el crecimiento de la variable que entra X1 hasta 3 (no la deja tomar valores superiores...