Métodos Computacionales

Asignatura: Recursado Métodos Computacionales 2011




Carrera: INGENIERÍA INDUSTRIAL







Trabajo práctico número 1

Errores numéricos


Año 2011

Errores numéricos:

Dos tipos básicos de errores se cometen al trabajar en cálculo numérico: Errores por Redondeo y Errores por Truncamiento.

Ej. 1) Fórmula Mejorada para la Resolución de la Ecuación de SegundoGrado:

i) Utilice la función cuad.m (Ej.3 - Práct.0), calcule las raíces x1 y x2 de las siguientes ecuaciones de segundo grado:


a) x2 – 10000,0001x + 1 = 0,


b) x2 – 100000,00001x + 1 = 0,


c) x2 – 1000000,000001x + 1 = 0.




ii) Utilizando la Fórmula Mejorada para la Resolución de la Ecuación de Segundo Grado (ver libro), desarrolle un algoritmo y la funcióncuadmejor.m en Matlab que calcule las raíces de una ecuación cuadrática en todos los casos posibles, incluyendo los casos problemáticos.

iii) Calcule las raíces de las ecuaciones anteriores utilizando cuadmejor.m y compare los resultados.
Analice el error obtenido y tabule los resultados utilizando 15 decimales.




Ej. 2) Reproduzca el ejemplo visto en clase, serie de Taylorcorrespondiente a la función SENO, para ejemplificar la competencia entre ambos tipos de errores (redondeo y truncamiento). El desarrollo del ejemplo deberá contar con los siguientes ítems:

i) Desarrollar una función de Matlab para evaluar la función SENO permitiendo elegir el número máximo de términos de la serie; tolerancia a partir de la cual se desprecian términos y valor donde se deseaevaluar la serie.


ii) Realizar un gráfico donde el eje de las abscisas corresponda al número de términos y el eje de las ordenadas al valor calculado para la serie para valores de x igual a: 0, π/4, π/2, π; 10π; 100π diferenciando por colores.


iii) Graficar y comentar el error total cometido (ayuda: analice la competencia del término de potencia y el término factorial). Realizar elanálisis utilizando 6 y 15 términos respectivamente.



Desarrollo:
Ejercicio1:
i) (a) x2 – 10000,0001x + 1 = 0

a=1 b=-10000.0001 c=1

>> [x1,x2]=cuad(a,b,c)

x1 =

10000


x2 =

1.000000002022716e-004

(b) x2 – 100000,00001x + 1 = 0

a=1 b=-100000.00001 c=1

>> [x1,x2]=cuad(a,b,c)

x1 =

100000


x2 =

1.000000338535756e-005

(c)x2 – 1000000,000001x + 1 = 0

a=1 b=-1000000.000001 c=1

>> [x1,x2]=cuad(a,b,c)

x1 =

1000000


x2 =

1.000007614493370e-006

ii) Fórmula Mejorada para la Resolución de la Ecuación de Segundo Grado:







Utilizamos esta fórmula mejorada para minimizar errores al momento de resolver una ecuación de segundo grado, pero debemos tener algunos cuidados respectoa su uso:


1. Si hay que proceder con cuidado para evitarla pérdida de precisión por cancelación. Si b>0, entonces x1 debe ser calculado con la fórmula mejorada y x2 con la resolvente tradicional. Si b> [xm1,xm2]=cuadmejor(a,b,c)

xm1 =

10000


xm2 =

1.000000000000000e-004

(b) x2 – 100000,00001x + 1 = 0

a=1 b=-100000.00001 c=1

>>[xm1,xm2]=cuadmejor(a,b,c)

xm1 =

100000
xm2 =

1.000000000000000e-005

(c) x2 – 1000000,000001x + 1 = 0

a=1 b=-1000000.000001 c=1

>> [xm1,xm2]=cuadmejor(a,b,c)

xm1 =

1000000


xm2 =

1.000000000000000e-006

Diferencias entre ambas funciones:

(a) x2 – 10000,0001x + 1 = 0

Error absoluto de x1= 0.000000000000000
Error absoluto de x2=0.000000000000202
Error relativo de x1= 0.000000000000000
Error relativo de x2= 0.000000002022716


(b) x2 – 100000,00001x + 1 = 0

Error absoluto de x1= 0.000000000000000
Error absoluto de x2= 0.000000000003385
Error relativo de x1= 0.000000000000000
Error relativo de x2= 0.000000338535756

(c) x2 – 1000000,000001x + 1 = 0

Error absoluto de x1=...