Métodos de solución de Ecuaciones diferenciales ordinarias
Páginas: 3 (522 palabras)
Publicado: 14 de abril de 2014
Métodos de solución de Ecuaciones diferenciales ordinarias.
¿Qué es una ecuación ordinaria?
Comúnmente se abrevia “EDO”, y son las que contienen una función desconocida de una variable la cuales independiente y relaciona con sus derivadas.
Método de Euler.
El Método de Euler o de las Tangentes constituye el primer y más sencillo ejemplo de
Método numérico para la resolución de unproblema de valor inicial:
Donde suponemos demás que se verifican las hipótesis del Teorema de Picard, y en consecuencia existe solución única para el problema.
Interpretando la EDO y’ = f(x,y)como un campo de direcciones en el plano x – y , y la condición inicial y(x0)= y0 como un punto (X0 , Y0) de dicho plano, podemos aproximar la función solución y(x) por medio de la recta tangente ala misma que pasa por ese punto:
Donde la pendiente de dicha tangente es: m = y’(x0) y, en consecuencia m = f(x0 y0). Calculamos así de manera aproximada el valor de la solución y en el punto deabscisa x1 como:
Y con este punto (aproximado) ya calculado, podemos repetir el método para obtener otro punto aproximado (x2 , y2 ) de la forma:
Y así sucesivamente.
Método de Taylor.El Método de Euler que acabamos de describir no es más que un caso particular de los métodos de Taylor, que consisten de manera general en aproximar la solución por su polinomio de Taylor de un ordendeterminado.
Tal que presenta solución única y(x) en un entorno de x0 aproximaremos dicha función por su polinomio de Taylor de orden N:
Y el error de aproximación viene determinado porel resto de orden N + 1, de manera que el error es proporcional a (x – x0) N+1 . Si fijamos una sucesión de puntos: x0, x1, x2, … , con xn+1 = xn +h,
y denominamos y0, y1, … , a los valorescorrespondientes de y(x), tendremos que:
Con un error proporcional a hN+1. Para poder aplicar el método necesitamos conocer las derivadas de la solución, pero teniendo en cuenta la propia...
¿Qué es una ecuación ordinaria?
Comúnmente se abrevia “EDO”, y son las que contienen una función desconocida de una variable la cuales independiente y relaciona con sus derivadas.
Método de Euler.
El Método de Euler o de las Tangentes constituye el primer y más sencillo ejemplo de
Método numérico para la resolución de unproblema de valor inicial:
Donde suponemos demás que se verifican las hipótesis del Teorema de Picard, y en consecuencia existe solución única para el problema.
Interpretando la EDO y’ = f(x,y)como un campo de direcciones en el plano x – y , y la condición inicial y(x0)= y0 como un punto (X0 , Y0) de dicho plano, podemos aproximar la función solución y(x) por medio de la recta tangente ala misma que pasa por ese punto:
Donde la pendiente de dicha tangente es: m = y’(x0) y, en consecuencia m = f(x0 y0). Calculamos así de manera aproximada el valor de la solución y en el punto deabscisa x1 como:
Y con este punto (aproximado) ya calculado, podemos repetir el método para obtener otro punto aproximado (x2 , y2 ) de la forma:
Y así sucesivamente.
Método de Taylor.El Método de Euler que acabamos de describir no es más que un caso particular de los métodos de Taylor, que consisten de manera general en aproximar la solución por su polinomio de Taylor de un ordendeterminado.
Tal que presenta solución única y(x) en un entorno de x0 aproximaremos dicha función por su polinomio de Taylor de orden N:
Y el error de aproximación viene determinado porel resto de orden N + 1, de manera que el error es proporcional a (x – x0) N+1 . Si fijamos una sucesión de puntos: x0, x1, x2, … , con xn+1 = xn +h,
y denominamos y0, y1, … , a los valorescorrespondientes de y(x), tendremos que:
Con un error proporcional a hN+1. Para poder aplicar el método necesitamos conocer las derivadas de la solución, pero teniendo en cuenta la propia...
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