Métodos numéricos aplicación newton rahpson

DETERMINACIÓN APROXIMADA DE EXTREMOS: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Supongamos que deseamos calcular los extremos relativos (máximos o mínimos) De una función f(x), dos veces derivable. En ese caso,sabemos que los posibles extremos se producen en los llamados puntos críticos, esto es, en los valores de x que anulan la primera derivada.

Si x∗ es un punto crítico, entonces la segunda derivadapuede aclararnos si se trata de un máximo o un mínimo:

• Si f’(x∗) = 0 y f’’(x∗) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en x = x∗.

• Si f’(x∗) = 0 y f’’(x∗) > 0, entonces f tiene un mínimorelativo en x = x∗.

Para qué sirve el método de Newton Raphson:

El método de Newton-Raphson es un método iterativo que nos permite aproximar los ceros de una función. Podemos, por lo tanto, aplicarel método a la función derivada para aproximar los puntos críticos de una función. Para ello, debemos considerar la ecuación
f’(x) = 0.
En este caso, partimos de una estimación inicial del puntocrítico x0, y las siguientes aproximaciones se calculan de forma recurrente mediante la fórmula:

Supongamos, por ejemplo, que deseamos aproximar el mínimo de la función:

En el intervalo [2, 8]. Sirepresentamos la curva y = f(x)

Vemos que, efectivamente, la función tiene un mínimo en el intervalo. El mínimo se alcanza aproximadamente para x = 4.5 vale aproximadamente: ymin = −0.22.Calculamos:

Resulta la formula siguiente:

Si continuamos aproximando obtenemos:

De donde obtenemos el punto crítico:
x∗ = 4. 49341.

Sustituyendo en la segunda derivada, resulta
f’’(4. 49341) =0. 21723358 > 0, por lo tanto, se trata de un mínimo relativo.

El valor del mínimo es f (4. 49341) = −0. 21723363.

Para calcular un mínimo relativo se debe:

1. Cálculo de puntos críticos.Requiere el cálculo de la primera derivada y la resolución de la ecuación f’(x) = 0.

2. Identificación de extremos. Requiere el cálculo de la segunda derivada y la evaluación de la segunda...