Métodos Numéricos Solución De Ecuaciones No Lineales

UNIDAD V (U6)
SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

5.1 METODO DE JACOBI

Conjunto de m ecuaciones y n incógnitas, donde al menos una ecuación incluye alguna función no lineal de una o más incógnitas, forma general.

f1(x1, x2, x3,…xn) = 0
f2(x1, x2, x3,…xn) = 0
.
.
.
fn(x1, x2,x3,…xn) = 0

Donde f1(x1, x2, x3,…xn) para 1 < i < n, es una función (lineal o no), de las variables independientes x1, x2, x3,…xn. Ecuaciones con la incógnita x, estas siempre están a la potencia uno, en este caso, si existe uno solo diferente ya no es lineal.

Si n = 1 ( f(x) = 0
Si todas las fi son lineales ( AX = b.

Sugerencias para la solución desistemas no lineales.

1.- Reducir algebraicamente el tamaño del sistema
2.- Particionar el sistema
3.- Tantear la ecuación

Despejando una incógnita de cada ecuación se obtiene un sistema recursivo.

Xi = g1(x1, x2, x3,…xn) |
. |
. > X = g(x)
.|
Xn = gn(x1, x2, x3,…xn) |

Si partimos de x0 se puede generar la secuencia x1, x2, x3,…xn con el sistema recursivo anterior.

Xi k+1 = gi (xi k) i = 1…n

hasta que x- = g-(x-), o bien que se satisfaga

| xi k+1 - xi k | < tol, i 0 1,,, n ó

| xk+1 - xk | < tol



Exemplo:

f1(x,y)= x2 - 10x + y2 + 8 = 0

f2(x,y) = xy2 + x - 10y + 8 = 0

X = x2 + y2 + 8
10

Y = xy2 + x + 8
10

X0 = 0, y0 = 0

X1 = 0 + 0 + 8 = 0.8 y1 = 0 + 0 + 8 = 0.8
10 10
X1 = 0.8, y1 = 0.8

X2 = (0.8)2 + (0.8)2 + 8 = 0.928y2 = 0.8(0.8)2 + 0.8 + 8 = 0.9312
10 10
X2 = 0.928, y2 = 0.9312

X3 = (o.928)2 + (0.9312)2 + 8 = 0.9728 y3 = 0.928(0.9312)2 + 0.928 + 8 = 0.9732
10 10
X3 = 0.9728, y3 = 0.9732

X4 = (0.9728)2 + (0.9732)2 + 8 =0.989 y4 = 0.9728(0.9732)2 + 0.9728 + 8 = 0.989
10 10
X4 = 0.989, y4 = 0.989

X5 = (0.989)2 + (0.989)2 + 8 = 0.996 y5 = 0.989(0.989)2 + 0.989 + 8 = 0.996
10 10

X5 = 0.996, y5 = 0.996

X6 =(0.996)2 + (0.996)2 + 8 = 0.999 y6 = 0.996(0.996)2 + 0.996 + 8 = 0.998
10 10

X6 = 0.999, y6 = 0.998

X7 = (0.999)2 + (0.998)2 + 8 = 0.999 = 1 y7 = 0.999(0.998)2 + 0.999 + 8 = 0.999 = 1
10. 10












5.2METODO DE GAUSS-SEIDEL

X0 = 0, y0 = 0

X1 = 0 + 0 + 8 = 0.8 y1 = 0.8(0) + 0.8 + 8 = 0.88
10 10

X2 = (0.8)2 + (0.88)2 + 8 = 0.9414 y2 = 0.9414(0.88)2 + 0.9414 + 8 = 0.967
10 10

X3 =(o.9414)2 + (0.967)2 + 8 = 0.982 y3 = 0.982(0.9414)2 + 0.982 + 8 = 0.985
10 10

X4 = (0.982)2 + (0.985)2 + 8 = 0.994 y4 = 0.994(0.985)2 + 0.994 + 8 = 0.996
10 10

X5 = (0.994)2 + (0.996)2 + 8...