Métodos numéricos

Trabajo colaborativo 2 Métodos Numéricos

Presentado por: Libia Ortiz Cley Márquez Vargas Adriana Saiz José Yesid Quevedo Edgar Jojoa Bermudes

Tutor: Ricardo Gómez

Universidad nacional abierta y a distancia Escuela de ciencias básicas tecnología e ingenierías Programa de ingeniería de sistemas Sahagún – córdoba 2010

DESARROLLO DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Dado el sistema lineal X1 - X2+ aX3 = -2 X1 + 2X2 - aX3 = 3

aX1

+ X2 - X3 = 2

Y utilizando el método de Gauss – Jordán debe hallar: a) El valor o los valores de a para los cuales el sistema no tiene solución. b) El valor o los valores de a para los cuales el sistema tiene infinita soluciones. c) El valor o los valores de a para los cuales el sistema tiene una única solución. Solución: X1 - X2 + aX3 = -2 X1 + 2X2 -aX3 = 3

aX1
1 -1 -1 2 1

+ X2 - X3 = 2

a -a
1

-2 3 2 = R2 +R1

a

1 0

0 1 1

a

-1 0 1 1 2

= R1 +R2

a

1 0

-1 1 0

a
0 1

-1 1 1

= R3 – R2

a

A)

Si

a

= -1 (-1) (X1 + aX3 = -1) = = = -X1 - aX3 = 1 X2 = 1

X1 + aX3 = -1 X2 = 1

aX1 + aX3

= 1

aX1 + aX3

= 1

El sistema no tiene soluciones B) Si a = 1 X1 + X3 = -1 X1 + X3 = 1 2X1 +2X3 = 0 Donde X1 = X2

el sistema tiene infinitas soluciones

C) Si A= 0 X1 = -1 X2 = 1 X3 = 1 El sistema tiene una única solución

2. Utilizando el método de elimininación de Gauss resolver el siguiente sistema. Y seguido encuentre las matrices L y U

3x1 – x2 + 2x3 = –3 x1 + x2 + x3 = –4 2x1 + x2 – x3 = –3 3 -1 2 -3 1 1 1 -4 2 1 -1 -3 1 -1/3 2/3 -1 1 1 1 -4 1 ½ -1/2 -3/2

= f1/3 f3/2= f2-f1 f3-f1

1 -1/3 2 /3 -1 0 4/3 1/3 -3 0 5/6 -7/6 -1/2

= f2x3/4

1 -1/3 2/3 -1 0 1 1/4 -9/4 0 5/6 -7/6 -1/2

= f3-5/6f2

1 0 0

-1/3 2/3 -1 1 1/4 -9/4 0 -33/ 24 11/8

= -7 – 5 x 1 = -28-5 = -33 6 6 4 24 24 3 -1 + 5 x 9 = - 4+15 = 11 2 6 4 8 8 2

-33 x3= 11 24 8 1 3 x3= 11x -24 8 33 1 3 X2+1 x 3 =-9 4 4

x3=-1

X2+1/4 (-1) = - 9 4 MATRICES L Y U

X2=-1=-9 4 4 X2 =- 9 +1
4 4

x2=-8
4

X2=-2 X1 – 1/3x2 + 2/3 x3 = -1 X1- 1/3 x (-2) + 2/3 (-1) =-1 X1 + 2/3 - 2/3 = -1 X=-1 Matriz L

1 -1/3 2/3 0 1 1/4 0 0 -33

1 -1/3 2 0 1 1/4 0 0 1

Matriz de la U 3 -1 1 1 2 1 2 1 -1 7 10 3 2 0 = f1 -1/2 f2 2 9 -1 11/2 0 0 3 2 0 2 1 -1

= f1+2f3 f2+f3

= f1x 2/11 f2 / 2 f3 *-1

1 0 0 3/2 1 0 -2 -1 1

L=

1 -1 2 3 3 0 1 1 4 0 0 1

U=

1 0 0 3 1 0 2 -2 -11

[L] [U] = [A]

[A]= 3 -1 2 1 1 1 2 1 -1

3. Del siguiente sistema encontrar las raíces reales por cualquier método y luego hallar las cuatro primeras iteraciones empleando el método de Gauss-Seidel. De acuerdo al resultado obtenido con el método de Gauss-Seidel concluya la exactitud del método. 2x1 – x2 + 10x3 = –11 3x2 – x3 + 8x4 = –11 10x1 – x2 + 2x3 = 6 –x1 + 11x2 – x3 + 3x4 = 25 2x1– x2 + 10x3 = –11 3x2 – x3 + 8x4 = –11 10x1 – x2 + 2x3 = 6 –x1 + 11x2 – x3 + 3x4 = 25
 2 1 10 0 11    0 3 1 8 11  10 1 2 0 6    1 11 1 3 25      1 11 1   0 3 1  10 1 2   2 1 10  3 25   8 11 0 6   0 11 

F1 con F4

-F1 = F1;

-10 F1 + F3 = F3;

-2F1 + F4 = F4

 1 11 1 3 25    3 1 8 11  0  0 109 8 30 244    2 21 8 6 61    1/3 F2 = F2; -109 F2 + F3 = F3;

-2F2 + F4 = F4

1 3  1 11 25    8 11   0 1  13 3 3   3 /85 F3 = F3 ;  0 0 85 3 782 3 467 3  0 0 16  1 50  

F3 + F4 = F4

1  1 11   0 1  13  1 0 0 0 0 0 

3 25   8 11  3 3  782 85 467 3  296 5 1827 85  

5 296 F4 = F4

1  1 11   0 1  13  1 0 0 0 0 0 

3 25   8 11  3 3  467 3  782 85 18275032  1 

X4 = -0,36 X3 = 2,15 X2 = 1,99 X1 =-0,12

Empleando el método de gauss seidel 101− − 2 + 23 = 6 −1 + 112 − 3 + 34 = 25 21 − 2 + 103 = −11 01 + 32 − 3 + 84 = −11 Despejamos valores sobre diagonal 6 + 2 − 23 1 = 10 25 + 1 + 3 − 34 2 = 11 −11 − 21 + 2 3 = 10 −11 − 01 − 32 + 3 4 = 8 Primera iteración 0−2 0 +6 0 0 1 = = 1 = 0,6 10 0,6 − 0 + 0 − 0 + 25 0 0 2 = 2 = 2,33 11 −2 0,6 +...