métodos numéricos

Universidad de Oviedo
MÉTODOS NUMÉRICOS
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica en Informática de Oviedo (E.U.I.T.I.O)

Capítulo 1: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO NUMÉRICO.
Capítulo 1.1. EL OBJETIVO DEL CÁLCULO NUMÉRICO.
Dado un problema matemático, el objetivo del Cálculo Numérico es obtener el valor
numérico de la solución. Este objetivo tiene dos aspectos fundamentales:
a) Encontrar unmétodo factible para determinar la solución numérica (métodos
numéricos).
b) Analizar tanto el método como la solución calculada (análisis numérico).
Capítulo 1.1.1. MÉTODOS NUMÉRICOS:
El Cálculo Numérico, que es esencialmente una rama de las Matemáticas, difiere de las
Matemáticas tradicionales en poner su énfasis central en las necesidades del Cálculo
Numérico.
En particular, un métodonumérico factible debe tener las siguientes propiedades:
• Debe ser eficiente
• Debe contener un número finito de operaciones
En las matemáticas tradicionales es típico que los métodos se describan por argumentos
académicos o conceptuales que suelen ser poco eficientes desde el punto de vista de la
implementación.
Un ejemplo puede ser la regla de Cramer para calcular un sistema de ecuacioneslineales basada en el cálculo recursivo de determinantes:
Un sistema de Cramer es un sistema A· X

= B de n ecuaciones con n incógnitas y

rango n , es decir, tal que A ≠ 0 con la forma:

a11· x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + ... + a1n · xn = b1
a21· x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + ... + a2 n · xn = b2
a31· x1 + a32 · x2 + a33 ·x3 + ... + a3n · xn = b3
...
an1·x1 + an 2 · x2 + an 3 · x3 + ... + ann ·xn = bn

Alberto Suárez López

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En el cual la solución del sistema, es decir, los valores de x1 , x 2 , x 3 ,…, x n , vienen
dados por la expresión:

b1
b2
b3
x1 =

A11·b1 + A21·b2 + A31·b3 + ... + An1·bn
=
A

a12
a22
a32

...
bn an 2
a11b1
a21 b2
a31 b3

x2 =

A12 ·b1 + A22 ·b2 + A32 ·b3 + ... + An 3 ·bn
=
A

...
an1 bn

a13 ... a1n
a23 ... a2 n
a33 ... a3n
an 3 ... ann
A
a13 ... a1n
a23 ... a2 n
a33 ... a3n
an 3 ... ann
A

a11
a21

x3 =

A13 ·b1 + A23 ·b2 + A33 ·b3 + ... + An 3 ·bn
=
A

a12
a22

a31
...
an1

a32

b1 ... a1n
b2 ... a2 n
b3 ... a3n

an 2

bn ... ann
A

...
a11a21
a31
xn =

A1n ·b1 + A2 n ·b2 + A3n ·b3 + ... + Ann ·bn
=
A

a12
a22
a32

a13 ... b1
a23 ... b2
a33 ... b3

...
an1

an 2

an 3 ... bn
A

Para un sistema de n ecuaciones hay que resolver n + 1 determinantes. Cada uno de
esos determinantes se calcularía por adjuntos de una línea, lo cual conllevaría a realizar, por
cada uno de esos determinantes, n determinantes dedimensión n − 1 , así sucesivamente
hasta llegar a determinantes de dimensión la unidad, con lo cual se habrán
realizado (n + 1)! determinantes.
Para ilustrar el ejemplo, el caso de un sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas
supondría realizar un total de 11! = 39.916.800 determinantes.
Así decimos que un método es eficiente en relación con otro cuando su implementación
supone un númeroconsiderablemente menor de operaciones con respecto al otro método.
Alberto Suárez López
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En algunos de los métodos que estudiaremos (resolución de ecuaciones no lineales), la
solución del problema se obtendrá como límite de una sucesión de números reales, es decir,mediante un proceso infinito; pero en la práctica, al implementar tales métodos debemos
reemplazar el proceso infinito por uno finito, es decir, con un número finito de operaciones. De
esta manera tendremos una solución aproximada.
Capítulo 1.1.1.1. ANÁLISIS NUMÉRICO:
Es probable que una de las partes más importantes en el análisis numérico sea el
estudio del error entre la solución...