Métodos Numéricos


MÉTODOS NUMÉRICOS












POR: MARCOS CARMONA




¿QUE SON LOS METODOS NUMERICOS Y SUS CARACTERISTICAS?
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones. Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos, todos comparten unacaracterística común: llevan a cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos. Conociendo bien los métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar software costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala.
Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión delas matemáticas, aumentando su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia.

¿TEOREMA FUNDAMENTAL DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?
En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de unafunción en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.
También nos permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si  ≥ 0 es unentero y  una función que es derivable  veces en el intervalo cerrado [, ] y +1 veces en el intervalo abierto (, ), entonces se cumple que:1


O en forma compacta:


Donde  denota el factorial de , y   es el resto, término que depende de “”  y es pequeño si  está próximo al punto “”. Existen dos expresiones para “” que se mencionan a continuación:
(2a)
Donde  y , pertenecen a los númerosreales,  a los enteros y  es un número real entre  y :2
(2b)
Si  es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.Para algunas funciones , se puede probar que el resto  , se aproxima a cero cuando “” se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto “” y son denominadas funciones analíticas.
El teorema de Taylor con  ,  expresado de la segunda forma es también válido si la función   ,  tiene números complejos o valores vectoriales.Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

¿ERRORES DE TRUNCAMIENTO?

Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá acortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone esexacta).
En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximándose a la solución. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se asocia al número de paso, el resultado de dividir el intervalo “n” veces.
No es más que el error cometido al eliminar uno o varios términos, cuando una variable se forma por una sumatoria de ellos, porejemplo:


E.c. (i, 7)
Se desea calcular con solo 3 términos de la serie con el dato de
Solución; Para las siguientes derivadas, tendremos


Entonces al aplicar la ecuación (i, 7) al caso obtendremos:

Mientras que el valor exacto calculado con todos los términos de la serie es: 5.324

¿TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO?

En análisis matemático el teorema del valor intermedio (o...