Métodos Numéricos

Interpolación Con Raíces De Chebyshev
Como ya sabemos, la interpolación polinomial que utiliza puntos con igual separación (ya sea que se exprese mediante la formula de interpolación de LaGrange o a través de un polinomio de interpolación de Newton) es mas precisa en el rango medio del dominio de interpolación, aunque el error de la interpolación crece hacia los extremos. Esto se atribuye alcomportamiento de L(x) en la ecuación:
e(x)=f(x)-g(x)=L(x) f^((N+1) ) (ξ),x_0≤ξ≤x_N (Ec 2.3.7)
El esquema de este trabajo determina los puntos mediante un polinomio de Chebyshev. La separación determinada por un polinomio de Chebyshev es mayor en el centro del dominio de interpolación y decrece hacia los extremos. Como resultado, los errores se distribuyen de una forma mas regular en todo eldominio y sus magnitudes son menores que en el caso de los puntos separados de manera uniforme. La interpolación con los puntos de Chebyshev se usa ampliamente en las subrutinas matemáticas al igual que en los cálculos numéricos generales.
Los polinomios de Chebyshev se pueden expresar de dos formas distintas pero equivalentes: una utiliza funciones coseno y las otras series de potencias. En laprimera expresión, el polinomio de Chebyshev normalizado de orden K se define como
T_k (x)=cos⁡(K〖cos〗^(-1) (x) ),-1≤x≤1
Los polinomios de Chebyshev en la serie de potencias están dados por
T_0 (x)=1
T_1 (x)=x
T_2 (x)=2x^2-1
T_3 (x)=4x^3-3x
T_4 (x)=8x^4-8x^2+1
T_5 (x)=16x^5-20x^3+ 5x
T_6 (x)=32x^6-48x^4+ 18x^2-1
Los polinomios de Chebyshev de cualquier orden superior en la serie depotencias se pueden generar utilizando la relación recursiva,
T_j (x)=2xT_(j-1) (x)-T_(j-2) (x)
La forma de coseno de los polinomios de Chebyshev en la ecuación
T_k (x)=cos⁡(K〖cos〗^(-1) (x) ),-1≤x≤1
Indican que el mínimo y máximo local en -1≤x≤1 son -1 y 1, respectivamente.
Conviene observar también que todos los polinomios de Chebyshev valen 1 en x = 1 y +1 o -1 en x = -1, como se ilustra en lafigura
Puesto que la función coseno se anula en ±π/2, ±3π/2,…, las raíces de un polinomio de Chebyshev de orden k satisfacen:
K〖cos〗^(-1) (x_n )=(K+1/2-n)π,n=1,2,…,K
O más explícitamente,
x_n=cos⁡((K+1⁄2-n)/K),
n=1,2,…,K (Ec. 2.6.5)
Si K=3, por ejemplo, x_n para n = 1 ,2 y 3 son -0.86602, 0, +0.86602, respectivamente.
Si el rango de interpolación es [-1, 1], las K raíces xn, i=1,2,…, K, se pueden utilizar como las abscisas de los puntos en la interpolación de LaGrange, en vez de utilizar puntos con igual separación. Sin embargo, hay que observar que la numeración de los puntos al obtener los puntos de Chebyshev y la de la formula de interpolación de LaGrange de la ecuación:
g(x) = ((x-x_1 )(x-x_2 )⋯(x-x_N ))/((x_0-x_1 )(x_0-x_2 )⋯(x_0-x_N ) ) f_0
+((x-x_0 )(x-x_2 )⋯(x-x_N))/((x_1-x_0 )(x_1-x_2 )⋯(x_1-x_N ) ) f_1
⁞
+((x-x_0 )(x-x_1 )⋯(x-x_(N-1) ))/((x_N-x_0 )(x_N-x_1 )⋯(x_N-x_(N-1) ) ) f_N
Son distintas. Si se utilizan los tres puntos de Chebyshev de K=3 como se mostro con en el párrafo anterior, el orden de la formula de interpolación de LaGrange es N=2 y los puntos xi de la ecuación anterior son x0 = -0.86602, x1= 0 y x2= +0.86602. Las ordenadas de losextremos (a saber, en x = -1 y x = +1) no se utilizan. Por lo tanto, la formula de interpolación de LaGrange se utilizara como “extrapolación” en [-1, -0.86602], al igual que en [+0.86602, +1].
La interpolación polinomial de Chebyshev se puede aplicar en cualquier rango distinto de [-1, 1], si se transforma a [-1,1] sobre el rango de interés. Si escribimos el rango de interpolación como [a,b], latransformación esta dada por
x=(2z-a-b)/(b-a) O en forma equivalente
z=((b-a)x+a+b)/2 (Ec. 2.6.7)
Donde -1 ≤ x ≤ 1 y a ≤ z ≤ b
Por lo tanto al sustituir los puntos de Chebyshev xn [-1,1] dados por la ecuación 2.6.5 en la ecuación 2.6.7, los puntos de Chebyshev zn en [a, b] son
Zn = 1/2 [(b-a) cos⁡((K+1⁄2-n)/K)+a+b],n=1,2,…,K (Ec. 2.6.8)
El error de una interpolación que utiliza...