Métodos númericos

1. Introducción
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “ aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.
El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones“aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.
Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:

a) Cálculo de derivadas
b) Integralesc) Ecuaciones diferenciales
d) Operaciones con matrices
e) Interpolaciones
f) Ajuste de curvas
g) Polinomios

Los métodos numéricos se aplican en áreas pricipalmente de ingeniaIndustrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc...

2. Solución de Ecuaciones Diferenciales
2.1 Ecuaciones Diferenciales
Es una ecuación en la que aparecen derivadas o diferenciales. Si una ecuación contiene solo derivadas de una función de una variable, entonces se dice que es ordinaria. Una ecuación diferencial parcial contiene derivadas parciales.Podemos encontrar diferentes tipos como los son las:
a) Ecuaciones diferenciales separables
b) Ecuaciones diferenciales de segudo orden
c) Ecuaciones diferenciales lineales no homogeneas
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales(física, química, biología) o matemáticas, como en economía.


2.2 Solución de una Ecuación Diferencial

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:

Solución general

Una solución de tipogenérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc.). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como elorden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

Solución particular

Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral quesatisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

Solución singular

Una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.Cualquier problema que tenga ecuaciones diferenciales ordinarias se clasifican en problemas con condiciones iniciales y problemas con condiciones en la frontera. Muchos de los problemas con condiciones iniciales dependen del tiempo; en ellos, las condiciones para la solución están dadas en el tiempo inicial. Los métodos numéricos para los problemas con condiciones iniciales difieren en forma...