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MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE POLINOMIOS

TIMONMATE

POLINOMIOS A. Introducción Teoría B. Ejercicios resueltos B.1. Sumas y restas B.2. Multiplicación B.3. División B.4. Sacar factor común B.5. Simplificar fracciones algebraicas B.6. Operaciones con fracciones algebraicas B.7. Relación entre dividendo, divisor, resto y cociente

Notas teóricas Operaciones con polinomios: a) Suma yresta Se agrupan los monomios del mismo grado y se opera. Multiplicación Se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo y luego se agrupan y se operan los términos del mismo grado. División Suelen utilizarse dos métodos: i. Método estándar: Se procede de forma análoga a la división entre números.
dividendo divisor resto cociente
Se cumple que:b)

c)

Dividendo = divisor ⋅ cociente + resto

ii.

Método de Ruffini: Sólo se puede aplicar para dividir polinomios de grado igual o mayor que dos entre un binomio de grado uno

-

Teorema del resto:

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El resto de la división de un polinomio entre x − a coincide con el valor del polinomio en a, es decir: resto = P (a) Factorización depolinomios: Los polinomios compuestos pueden descomponerse como producto de dos o más polinomios de grado menor. A esta tarea se le llama factorizar polinomios.

Ejercicios resueltos B.1. Sumas y restas 1. 2. 3. 4. 5. 3x + 2x = 5x 6x – 15x = –9x
3x 2 + 2x 2 − 3x + 5x = 5x 2 + 2 x x 2 − 3x − 2x 2 − x = −x 2 − 4 x x 3 − 3x − 2x 2 − x + 4 x 2 + 5x 3 = x 3 + 5x 3 − 2 x 2 + 4x 2 − 3x − x = = 6x 3 +2x 2 − 4x

6.

−(3x − 2x 2 ) − (x + 4x 2 ) = −3x + 2x 2 − x − 4x 2 = −2x 2 − 4x

B.2. Multiplica 7. 8. 9.
x ⋅ x 2 = x 1+ 2 = x 3 x 3 ⋅ x 2 = x 3+ 2 = x 5 2x 4 ⋅ 3x 2 = 6 x 4+2 = 6 x6

10. −2x7 ⋅ 5x−2 = −10x7 +(−2) = −10x 5 11. 6 — (3x + 2) = 18x+12 12. 9 — (6x – 5) = 54x–45 13. – 3 — (2x – 7) = –6x+21

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14. 5 — (x – 2) = 5x–10 15. –2 — (3x –9) = –6x+18 16. 9 — (6x – 5) = 54x–45 17. x — (x – 2) = x2 –2x 18. –2x — (3x – 9) = 6x2 +18x 19. 9x2 — (6x – 5) = 54x3 –45x2 20. 5x — (x2+x – 2) = 5x3 +5x2 –10x 21. (3x2 – 7x – 1) — (–4) — x5 = –12x7 +28x6 +4x5 22. –2x2 — (3x3 – 9x2+7x+1) = –6x5 +18x4 –14x3 –2x2 23. 9x6(– 5x4 + 10x3 – 3x2 – x + 3) = –45x10 +90x9 –27x8 – 9x7 +27x6 24. (3x + 1)(5x + 2) = 3x— (5x + 2)+1— (5x + 2) =15x2+6x+5x + 2 =15x2+11x+2 25. (2x + 7)(x + 1) =2x— (x + 1)+7— (x + 1) = 2x2+2x+7x + 7 = 2x2+9x+7 26. (x – 1)(5x + 6) = x— (5x + 6)–1— (5x + 6) = 5x2+6x–5x–6 = 5x2+x–6 27. (3x – 1)(–7x + 2) = 3x— (–7x + 2) –1— (–7x + 2) = –21x2+6x+7x – 2 = = –21x2+13x–2 28. (3x + 7)(x2+x – 2)= =(3x + 7)(x2+x – 2) = 3x —(x2+x – 2) + 7— (x2+x – 2) = = 3x3+3x2 –6x+ 7x2+7x –14 = 3x3+10x2 +x –14 29. (x2+x – 2)(x2+x – 2) = =x2(x2+x–2)+x(x2+x–2)–2(x2+x–2) = x4+x3 –2x2 +x3+x2 –2x –2x2– 2x+4 = = x4+2x3 –3x2 –4x+4 30. (x + 27 ) = x 2 + 2 27x + 27 31.
2

(

31x − 5) = 31x 2 − 10 31x + 25

2

2  x   x − 3  = x − 3   32.  + 3    3    3   3

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33. (x − 2 )⋅ (x + 2 2 ) = x (x + 2 2 ) − 2 (x + 2 2 ) = x 2 + 2 2x − 2x − 2 =

x 2 + 2x − 2
34. (3x 2 − 3 ) = (3x 2 ) −2 ⋅ 3x 2 ⋅ 3 + ( 3 ) = 9x 4 − 6 3x 2 + 3 35. (2x 4 + 5 ) = (2x 4 ) + 3 ⋅ ( 2x 4 ) ⋅ 5 + 3 ⋅ (2x 4 )⋅ ( 5 ) + ( 5 ) =
3
2

2

3

2

2

3

= 8x 12 + 12 ⋅ 5x 8 + 30x 4 + ( 5 )

3

TEMA RELACIONADO: Binomio de Newton

B.3. División 36. (x 2 − 4x + 3) : (x − 1)
Solución: a) Método de Ruffini 1 1 1 –4 1 –3 3 –3 0
Resto: 0

Cociente: x – 3

b) Método general o estándar x2 –x2 0– 4x x –3x 3x 0 +3 –3 0 Resto +3 x–1 x–3 Cociente

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37. (3x 2 + x − 5) : (x + 2) Solución: a) Método de Ruffini 3 -2 3 1 -6 -5 -5 10 5 Resto

Cociente: 3x – 5

b) Método general 3x2 + –3x2 0 x –6x –5x 5x 0 –5 10 5 Resto – 5 x+2 3x – 5 Cociente

38. (6x 5 − 3x 4 + 2x) : (x + 1) Solución:

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