Núcleo o kernel e imagen de una transformacion lineal

DE NÚCLEO O KERNEL, E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN
LINEAL

Definiciones

 Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K y T una transformación lineal de V en W. El núcleo o kernel deT es:

N ( T ) ( Ker T ) = { v Î V : T ( v ) = 0 w }

Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación linealestá formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del condominio.
• El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1. dadoque T(0V) = 0W
2. Dados
3. Dados
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad (T) = dim (Nu (T))

O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjuntode todos los vectores del condominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del condominio.
El rango de unatransformación lineal es la dimensión de la imagen.
rg(T) = dim(Im(T))
 Sea una transformación lineal de en ; se define el núcleo de como

Nótese que es un subespacio de . Por otro lado, se definela imagen de como
Para algún
Es un subespacio de . Si es un subespacio de y es un subespacio de , entonces los conjuntos


Son subespacios de y respectivamente. Obsérvese que , e .La dimensión del espacio imagen se conoce como el rango de la transformación , y se denota por .

Ejemplos

1.- Si es la proyección dada por entonces el núcleo esta dado por:Mientras que la imagen es:


Vemos en este ejemplo que el núcleo es el complemento directo mientras que la imagen es el subespacio sobre el cual se proyecta.

2.- Si es una proyección sobreW subespacio de V, asociada a la descomposición entonces

En efecto, recordemos que T(v) = X siempre que v = x + y , donde Por lo tanto, tenemos que:


3.- Sea tal que...