Número Aureo
Páginas: 28 (6825 palabras)
Publicado: 29 de junio de 2012
Número áureo
Este artículo trata sobre un número algebraico (no astronómico). Para otros usos de este término, véase Áureo (desambiguación).
El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media,1 razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griegoFidias, es un número irracional:2
El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.
También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),3 por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra Fi(Φ,φ) es más común.
Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las nervaduras delas hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otrasartes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.
Contenido [ocultar]
1 Definición
1.1 Cálculo del valor del número áureo
2 Historia del número áureo
3 El número áureo en las matemáticas
3.1 Propiedades y representaciones
3.1.1 Ángulo de oro
3.1.2 Propiedades algebraicas
3.1.3 Representación mediante fracciones continuas
3.1.4Representación mediante ecuaciones algebraicas
3.1.5 Representación trigonométrica
3.1.5.1 Relacionando al número áureo
3.1.6 Representación mediante raíces anidadas
3.1.7 Relación con la serie de Fibonacci
3.2 El número áureo en la geometría
3.2.1 El rectángulo áureo de Euclides
3.2.2 En el pentagrama
3.2.3 El teorema de Ptolomeo y el pentágono
3.2.4 Relación con los sólidos platónicos
4 Elnúmero áureo en la Naturaleza
5 El número áureo en el arte y en la cultura
6 Véase también
7 Referencias
8 Bibliografía
9 Enlaces externos
[editar]Definición
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:
El segmento menor es b. El cociente a / b es el valor del número áureo: φ.1+1=18
Surge alplantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor.
[editar]Cálculo del valor del número áureo
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:
reordenamos:
La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:
que es el valor del número áureo, equivalente a la relación a / b.
[editar]Historia del número áureo
Algunos autores sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en varias estelas de Babilonia y Asiria de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existedocumentación histórica que indique que el número áureo fuera utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además, para que se pueda afirmar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero...
Este artículo trata sobre un número algebraico (no astronómico). Para otros usos de este término, véase Áureo (desambiguación).
El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media,1 razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griegoFidias, es un número irracional:2
El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.
También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),3 por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra Fi(Φ,φ) es más común.
Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las nervaduras delas hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otrasartes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.
Contenido [ocultar]
1 Definición
1.1 Cálculo del valor del número áureo
2 Historia del número áureo
3 El número áureo en las matemáticas
3.1 Propiedades y representaciones
3.1.1 Ángulo de oro
3.1.2 Propiedades algebraicas
3.1.3 Representación mediante fracciones continuas
3.1.4Representación mediante ecuaciones algebraicas
3.1.5 Representación trigonométrica
3.1.5.1 Relacionando al número áureo
3.1.6 Representación mediante raíces anidadas
3.1.7 Relación con la serie de Fibonacci
3.2 El número áureo en la geometría
3.2.1 El rectángulo áureo de Euclides
3.2.2 En el pentagrama
3.2.3 El teorema de Ptolomeo y el pentágono
3.2.4 Relación con los sólidos platónicos
4 Elnúmero áureo en la Naturaleza
5 El número áureo en el arte y en la cultura
6 Véase también
7 Referencias
8 Bibliografía
9 Enlaces externos
[editar]Definición
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:
El segmento menor es b. El cociente a / b es el valor del número áureo: φ.1+1=18
Surge alplantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor.
[editar]Cálculo del valor del número áureo
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:
reordenamos:
La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:
que es el valor del número áureo, equivalente a la relación a / b.
[editar]Historia del número áureo
Algunos autores sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en varias estelas de Babilonia y Asiria de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existedocumentación histórica que indique que el número áureo fuera utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además, para que se pueda afirmar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero...
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