Número de rectas determinado por n puntos

Diaposit. 1

INVESTIGACIÓN
Dados N puntos en el plano, averiguar el nº de rectas determinadas por ellos.
Observaciones:
1. Tendremos que hacer uso del intuitivo axioma de Euclides: “2 ptos.determinan una recta” 2 Es necesario saber como están situados dicho ptos. en el plano. Información que complementaremos nosotros mediante supuestos. Empezaremos por el supuesto que algunos ven implícitoen el enunciado original. Supuesto 1:

Entre los N ptos. dados, no existen 3 que estén en la misma recta.
(Después, se pueden plantear supuestos: supuesto 2, supuesto 3, etc.) 3. Podemos resolverel problema de forma INDUCTIVA (lo que se acomoda al conocido heurístico: EMPIEZA POR LO FÁCIL y ve observando, anotando, analizando lo que pasa, conforme lo vas haciendo más difícil) o atacarlodirectamente en su formulación general

Diaposit. 2

Recordemos enunciado completo en supuesto 1 : Dados N ptos. en el plano, averiguar el nº de rectas determinadas por ellos. Entre los N ptos. dados,no existen 3 que estén en la misma recta.
En nuestro caso lo fácil o difícil depende del valor de N, así que, construyamos una tabla empezando por lo más sencillo: N = 2, 3, 4, 5, 6... N.

N(nº deptos.) 2 3 4 5

Representación

(nº de rectas determinadas)

R

1 3 6
4 rectas desde el vértice elegido. ¿y desde los otros vértices?: ¡otras 4! ¡Pero cada recta está contada 2 veces! Para“arreglarlo” tendré que contar sólo la mitad de ellas

4*5=20. 20/2 = 10

.....

Diaposit. 3

N(nº de ptos.)

Representación

(nº de rectas determinadas)

R

2 3 4 5
4 rectas desde elvértice elegido. ¿y desde los otros vértices?: Otras 4. ¡Pero cada recta está contada 2 veces! Para “arreglarlo”, tendré que contar sólo la mitad de ellas:

1 3 6
4desde cada vértice*5vértices =2020/2= 10

6

5 rectas desde el pto elegido (las que resultan al unir con el resto de ptos.)

5desde cada vértice*6vértices =30 30/2= 15

Al igual que en el caso anterior,si cuento todas las...