Número perfecto

Número perfecto
Un número perfecto es un número natural que es igual
a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse
él mismo. Dicho de otra forma, un número perfecto es
aquel que es amigo de sí mismo.

Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los
cuatro que ya conocían. Muchas de estas suposiciones han
resultadoser falsas. Una de ellas era que, como 2, 3, 5
y 7 eran precisamente los cuatro primeros números priAsí, 6 es un número perfecto porque sus divisores propios
con n = 11,
son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3. Los siguientes números mos, el quinto número perfecto se obtendría
el quinto número primo. Sin embargo, 211 – 1 = 2047 =
perfectos son 28, 496 y 8128.
23 × 89 no es primo y por tanto n = 11 nogenera un número perfecto. Dos de las otras suposiciones equivocadas
• 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
eran:
• 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
• 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 +
508 + 1016 + 2032 + 4064

1. El quinto número perfecto tendría cinco dígitos, ya
que los cuatro primeros tienen 1, 2, 3 y 4, respectivamente.

Aparte, y considerando la suma de los divisorespropios,
existen otros tipos de números.
2. Los números perfectos terminarían alternativamente en 6 y en 8.

• Números defectivos: la suma de los divisores propios
es menor que el número.

• Números abundantes: la suma es mayor que el núEl quinto número perfecto (33 550 336) tiene 8 dígitos,
mero.
contradiciendo así la primera suposición. En cuanto a la
• Números amigos: a y b tales quea es la suma de los segunda, el quinto número perfecto acaba en 6, pero también el sexto (8 589 869 056) termina en 6. (El que la úldivisores propios de b y viceversa.
tima cifra de un número perfecto par expresado en base
• Números sociables: como los amigos, pero con un 10 siempre sea 6 u 8 no es difícil de demostrar.)
ciclo mayor de números.
Fue en 1603 cuando Pietro Cataldi halló losnúmeros per16 17
• Números semiperfectos: la suma de todos o algunos fectos sexto y séptimo, 2 (2 – 1) = 8 589 869 056 y
18 19
2
(2
–
1)=
137
438
691
328.[1]
de los divisores propios es igual al número.
Es verdad que si 2n – 1 es un número primo, entonces
2n–1 (2n – 1) es un número perfecto, pero el recíproco no
1 Historia
es necesariamente cierto. Hoy en día, a los números primosgenerados por la fórmula 2n – 1 se los conoce como
El matemático Euclides descubrió que los cuatro pri- números primos de Mersenne, en honor al monje del siglo
meros números perfectos vienen dados por la fórmula XVII Marin Mersenne, quien estudió teoría de números
y números perfectos.
2n−1 · (2n − 1) :
Posteriormente, Leonhard Euler demostró en el siglo
XVIII que todos los números perfectos paresse generan
a partir de la fórmula que ya descubrió Euclides.

n = 2: 21 × (22 – 1) = 6
n = 3: 22 × (23 – 1) = 28

No se conoce la existencia de números perfectos impares. Sin embargo, existen algunos resultados parciales al
n = 7: 26 × (27 – 1) = 8128
respecto. Si existe un número perfecto impar debe ser
mayor que 10300 , debe tener al menos 8 factores primos
n
Al darse cuenta de que 2– 1 es un número primo en distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3). Uno de
cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2n–1 (2n – esos factores debe ser mayor que 107 , dos de ellos deben
1) genera un número perfecto par siempre que 2n – 1 es ser mayores que 10 000 y tres factores deben ser mayores
primo.
que 100.
n = 5: 24 × (25 – 1) = 496

1

2

6

ENLACES EXTERNOS

Otraspropiedades de los núme- 4 Referencias
ros perfectos pares
[1] Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre ma-

2

temáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.

2.1

Son números triangulares
2

Un número triangular es de la forma n 2+n , donde «n»
es un número entero positivo cualquiera distinto de cero.
p

)+1 p
(2 −1) y
Si partimos de la identidad 2p−1 (2p −1)=...