Números complejos

TABLA DE CONTENIDO

1. Definición

2. Representación binómica
3 Valor absoluto o módulo, conjugado y distancia
3.1 Valor absoluto o módulo de un número complejo
3.2 Conjugado de un número complejo
4 Representación trigonométrica y representación geométrica
5 Módulo y argumento
5.1 Geometría y operaciones con complejos
6 Aplicaciones.1. NÚMEROS COMPLEJOS

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y lastelecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tieneexactamente n soluciones complejas.
Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que. Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variablecompleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.
Definiremos cada complejo z como un par ordenado denúmeros reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:
* Suma
(a,b) + (c,d) = (a+c) + (b+d) i
* Multiplicación
(a,b) x (c,d) = (ac-bd) + (ad+cb) i
* Igualdad
(a, b) = (c,d) a = c > b = d
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro aaquel que está compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0 .
Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter Unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre losreales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.
La multiplicación de números complejos es asociativa, conmutativa y distributiva:
Sean

I)
II)
III)

Sean con

Por demostrar la propiedad asociativa (I)

Por otra parte

Entonces se cumple .

2. REPRESENTACIÓN BINOMICA

Seaun número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:


Pero como y , entonces . En este caso se llama forma binómica o binomia del número complejo.

3. VALOR ABSOLUTO O MODULO, CONJUGADO Y DISTANICA

3.1 VALOR ABSOLUTO O MODULO DE UN NÚMERO COMPLEJO
El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

Si pensamos en z comoalgún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.
Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma polar como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφ es la conocida fórmula de Euler.
Podemos comprobar con...