Números Complejos

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad pararepresentar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas..Historia de los números complejos
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de lospolinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano
Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fuecompletamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX

Definición. Un número complejo z es una combinación lineal de la forma
en donde a y b son números reales.
Al número a se le llama la partereal de z, a = Re(z), y al número b la parte imaginaria de z, b = Im(z).
A la expresión a + b i de un número complejo z se le conoce como la forma estándar de z.

Ejemplos:

z Re(z) Im(z)
7 + 5 i 7 5
-4 –3 i = -4 + (-3) i -4 -3
-9 i = 0 + (-9) i 0 -9
4 = 4 + 0 i 4 0

Decimos que dos números complejos z = a + b i, w = c + d i, son iguales z = w, si y solo si a = c y b = d.
Podemosvisualizar a los números complejos asociándolos con puntos del plano. Hacemos esto que el número a + b i se corresponda con el punto (a, b)


Varias propiedades de la suma y del producto de números complejos coinciden con las de los números reales. Recogeremos aquí las más básicas y verificamos algunas de ellas.
Las leyes comitivas z1 + z2= z2 + z1, z1z2 = z2z1
y asociativas (z1 + z2)+ z3 = z1 + (z2 + z3), (z1z2)z3 = z1(z2z3)
Se siguen fácilmente de las definiciones de la suma y el producto de números complejos, y del hecho de que los números reales las satisfacen. Por ejemplo,
z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2),
Entonces
z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) + (x1, y1) = z2 + z
Las vértices de las restantes, así como de laley distributiva.
z(z1 + z2) = zz1 + zz2
Es similar
De acuerdo con la ley conmutativa del producto, iy = yi; luego está permitido escribir
z = x + iy o z = x + yi
Además, por las leyes asociativas, una suma z1 + z2 + z3 o un producto z1z2z3 están bien definidos sin paréntesis, igual que ocurría con los números reales
La identidad aditiva 0 = (0, 0) y la idenidad multiplicativa 1 = (1,0) de los números reales se transfieren al sistema de los números complejos. O sea.
z + 0 = z y z * 1 = z
Para todo número complejo z. Más aún, 0 y 1 son los únicos números complejos con tales propiedades. Para establecer la unicidad de 0, supongamos que (u, v) es una identidad aditiva, y escribamos.
(x, y) + (u, v) = (x, y).
donde (x, y) es cualquier número complejo. Se deduce que
x...