Números Complejos
55
CAPÍTULO IV
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMÁTICA
4.1 INTRODUCCIÓN
Los números Complejos constituyen el mínimo conjunto C, en el que se
a donde a R . Un número complejo se
puede resolver la ecuación x 2
escribirá como:
(a, b)
a bi
Donde
1 ; i2
i
1
4.2 ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
(a, b)(c, d )
(a , b ) ( c, d ) ( a c, b d )
( a bi) ( c di) ( a b) ( c
(ac bd , ad bc)
(a bi)(c di)
(ac adi bci bdi 2 )
d )i
(ac bd ) (ad
bd )i
4.3 SUSTRACCIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Sean z, w dos números complejos
z
z
w
w
z
( w)
1
zw
Donde
Si w
x
yi entonces w
x
1
x
2
y
y
2
x
2
y2
i
Denominado simétrico multiplicativo4.4 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Los números reales son un subconjunto propio de los números
complejos.
ÁLGEBRA I
56
Los complejos de la forma (a,b) en los cuales b ≠ 0 se denominan
números imaginarios y si a = 0 se trata de un número imaginario
puro.
a , b ( a , b) ,
El complejo conjugado de z (a, b) es z
todo número real es su propio conjugado, mientras que elconjugado de un imaginario puro es su opuesto.
La suma y el producto de dos complejos conjugados es un número
real.
El cuadrado de todo número imaginario puro es un número real
negativo.
. Si z
Ejemplo 1
a)
2 3i ; w 1 4i
v
2i hallar:
zw
(2 3i ) (1 4i )
2 1 (3 4)i
3i
b) z w
( 2 3i )(1 4i ) ( 2 1 3( 4) ( 2( 4) 3(1)) i
( 2 3i )(1 4i ) 14 5i
( 2 12 ) ( 8 3)ic) z z
(2 3i )(2 3i )
e) w
(4 9) ( 6 6)i
w
(1 4i ) (1 4i )
d) v v
2
v2
( 2i )( 2i )
e)
13
4i 2
4
z
w
z
w
zw
1
17
11
i
17
( 2 3i )
10
17
1
( 2 3i )
4
i
17
1
12
4
42
2
17
12
12
17
42
8
17
i
3
i
17
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
57
4.5 REPRESENTACIÓN TRIGONOMÉTRICA DE LOS NÚMEROSCOMPLEJOS
Si establecemos un sistema de ejes cartesianos en el cual el eje y sirve para
representar la parte imaginaria del número complejo, tenemos:
y
r
z x iy
x r cos
y r sin
z r (cos
P(x+yi)
r
θ
x2
r
x
i sin )
y2
z
Conocida como la forma trigonométrica o forma polar de un número
complejo, donde r se conoce como el módulo de z y Ө como el
argumento.
4.6 TEOREMAEl valor absoluto del producto de dos números complejos es el producto
de sus valores absolutos y el ángulo del producto es la suma de sus
ángulos.
Demostración: Sea
z1 r1 cos 1 i sin 1
z2
z1z2
r1 cos
z1z2
r1r2 cos
z1z2
i sin
1
1
1 cos 2
r1r2 (cos
r2 cos
i 2 sin
1 cos 2
z1z2
r2 cos
sin
i sin
2
i sin
2
1 sin 2
r1r2 cos(
1
2i
1 sin 2 )
2)
2
sin
i(sin
i sin(
1 cos 2
1 cos 2
1
cos
1 sin 2
cos 1 sin
2)
2
4.7 TEOREMA
El valor absoluto del cociente de dos números complejos es el cociente
ÁLGEBRA I
58
de sus valores absolutos y el ángulo del cociente es el ángulo del
numerador menos el ángulo del denominador.
Demostración: Sea
z1
r1 cos
1 cos 2
z1
z2
isin
1
z2 r2 cos
r1 cos 1 i sin
r2 cos 2 i sin
z1
z2
z1
z2
r1 cos
i sin
cos
cos
2
1
2
sin
1 sin 2 )
r2 cos2 2
r1
cos(
r2
2
2
2
i(sin
sin
2)
1
1
i sin
i sin
2
2
1 cos 2
cos 1 sin
2
2
2
i sin(
2)
1
Ejemplo 2
Si z1
2 cos
4
i sin
4
;
z2
4 cos
3
4
i sin
3
4
Hallar
a) z1 z 2z1 z2
z1 z2
z1 z2
b)
2 cos
8 cos
4
4
3
4
i sin
4
i sin
4 cos
4
3
4
3
4
i sin
3
4
8(cos
i sin )
8
z1
z2
z1
z2
2 cos
4
3
4 cos
4
i sin
4
3
i sin
4
1
cos
2
4
3
4
i sin
4
3
4
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
z1
z2
1
cos
2
2
i sin
59
i
2
2
4.8 FÓRMULA DE...
Regístrate para leer el documento completo.