Números Complejos

Números complejos

Por lo general, los números complejos se presentan en los cursos de álgebra para “completar”
la solución de la ecuación cuadrática
ax2 + bx + c = 0, a _ 0.
Al utilizar lafórmula cuadrática
el caso en que b2 − 4ac < 0 no se resuelve hasta que podemos trabajar con las raíces
cuadradas de números negativos. En el siglo XVI, los matemáticos y científicos justificaban
porintuición esta forma de “completar” la solución de las ecuaciones cuadráticas.
Era natural que surgieran las polémicas; algunos matemáticos negaron la existencia de
estos números y otros losutilizaron junto con los números reales. Sin embargo, el uso
de números complejos no llevó a contradicción alguna, y la idea demostró ser una piedra
angular en el desarrollo de las matemáticas.
Un númerocomplejo c es de la forma c = a + bi, donde a y b son números reales
e i=-1; a es la parte real de c, y b es la parte imaginaria de c. El término
“parte imaginaria” surgió del misticismo querodeaba a los números complejos cuando
las personas comenzaron a utilizarlos; sin embargo, estos números son tan “reales” como
los números reales.
(a) 5 − 3i tiene parte real 5 y parte imaginaria −3.(b) -6+2i tiene parte real −6 y parte imaginaria 2
El símbolo i=-1 tiene la propiedad de que i2 = −1, de lo cual podemos deducir
las siguientes relaciones:
i 3 = −i, i 4 = 1, i 5 = −i, i 6 = −1, i 7= −i, . . . .
Estos resultados permiten simplificar las operaciones con números complejos.
Decimos que dos números complejos c1 = a1 + b1i y c2 = a2 + b2i son iguales si
sus partes reales eimaginarias, respectivamente, son iguales; es decir, si a1 = a2 y b1 = b2.
Por supuesto, todo número real a es un número complejo con parte imaginaria igual a
cero: a = a + 0i.

Operaciones con númeroscomplejos
Si c1 = a1 + b1i y c2 = a2 + b2i son números complejos, su suma es
c1 + c2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i,
y su diferencia es
c1 − c2 = (a1 − a2) + (b1 − b2)i.
En otros términos, para...