Números estelares

NÚMEROS estelares
Matemáticas nivel medio
Tipo I

Conocemos los cinco primeros números triangulares:

Complete la progresión de números triangulares con tres términos más.
Se observa que cada número triangular es una serie de números (Sn) de una progresión aritmética, es decir la suma de cada término (Un) de la sucesión interna de todos los números triangulares.
El primer término (U1) dela sucesión es 1. Para obtener el segundo término de la sucesión aritmética se resta el primero (T1) del segundo número (T2):
U2=T2-T1
U2=3-1
U2=2
De esta forma obtenemos los términos de la serie interna (S2) del segundo número triangular:
T2= U1+U2
T2=1+2
S2=1+2

De igual manera se obtuvo el tercer término (U3) de la sucesión aritmética, restando el segundo término (T2) del tercero(T3):
U3=T3-T2
U3=6-3
U3=3
Así obtenemos la serie interna (S3) del tercer término:
T3=U1+U2+U3
T3=1+2+3
S3=1+2+3
Así tenemos los tres primeros términos de la sucesión:
U1=1
U2=2
U3=3
Con estos términos podemos saber la diferencia (d) entre cada término utilizando la fórmula para el n-ésimo término de una sucesión aritmética:
Un=U1+n-1d
U3=1+3-1d
3=1+2d
2=2d
d=1
Entonces la sucesiónaritmética de los ocho primeros términos seria:
U1=1
U2=2
U3=3
U4=U1+4-11→1+3→4
U5=U1+5-11→1+4→5
U6=U1+6-11→1+5→6
U7=U1+7-11→1+6→7
U8=U1+8-11→1+7→8

Con estos términos podemos saber las series de cada número triangulo y así podemos determinar los siguientes tres términos:
T1=1

T2=S2
S2=U1+U2
S2=1+2=>3

T3=S3
S3=U1+U2+U3
S3=1+2+3=>6

T4=S4
S4=U1+U2+U3+U4
S4=1+2+3+4=>10T5=S5
S5=U1+U2+U3+U4+U5
S5=1+2+3+4+5=>15

T6=S6
S6=U1+U2+U3+U4+U5+U6
S6=1+2+3+4+5+6=>21
T7=S7
S7=U1+U2+U3+U4+U5+U6+U7
S7=1+2+3+4+5+6+7=>28

T8=S8
S8=U1+U2+U3+U4+U5+U6+U7+U8
S8=1+2+3+4+5+6+7+8=>36

Halle una proposición general que represente al enésimo número triangular, en función de n.
Como sabemos que cada número es igual a una serie numérica de una sucesión aritmética con unadiferencia d=1, además sabemos cuál es el primer término de la sucesión U1=1, entonces podemos partir de la fórmula para la suma de los n primeros términos para determinar una fórmula para el n-ésimo número triangular en función de n:
Sn=n22U1+n-1d
Como conocemos el primero término de la sucesión U1=1y la diferencia d=1 entonces reemplazamos estos términos en la ecuación:Sn=n221+n-11
Sn=n2+n-12
Sn=nn+12

Halle el número de puntos(es decir, el número estelar) en cada etapa, hasta la S6. Organice la información de manera que pueda reconocer y describir patrones o regularidades.
S1=1
S2=13
S3=37
S4=73

Patrones: Se encontró una relación con los número triangulares ya que se encuentran 12 triángulos internos pero de diferentes número de puntos, es decir,diferentes números triangulares ya que dentro de la estrella que se forma existen siempre 12 triángulos pero de diferentes números triangulares, pero esta relación es igual a (n-1) números triangulares, es decir, para S2 sería el primer número triangular, 1, por los 12 triángulos que están dentro de la estrella y se suma el punto del medio que aparece como una constante en cada configuración, esto esigual a 13; para S3 sería el segundo número triangular, 3, por los 12 triángulos internos, más 1, que sería iguala 37; para S4 sería el tercer número triangular, 6, por 12 triángulos internos, más 1, que sería igual a 73.
Además se puede observar que cada configuración a partir de S2 aumenta una estrella, es decir S2 tiene una estrella, S3 tiene 2 estrellas, S4 tiene 3 estrellas.
Otra regularidad esque en cada línea de la estrella que se forma aumenta un punto, es decir, se aumentan los mismos puntos de la estrella anterior, añadiendo 12 puntos porque la estrella tiene 12 líneas, en el caso del número 6-estelar.

Entonces S5 sería igual al cuarto número triangular, 10, por 12, más 1. Esto sería igual a 121, entonces:
S5=121
Para S6 sería igual al quinto número triangular, 15, por 12,...