Números estelares

COLEGIO INTERNACIONAL “RUDOLF STEINER”

2010-2011
Trabajo de matemáticas nivel medio Números estelares
Samira Páez

Introducción
Los números estelares: son series de números que están compuestos por las series triangulares las cuales son las que puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero (por convención, el primer número triangular es el 1). Los números triangulares, juntocon otros números figurados, fueron objeto de estudio por Pitágoras y los Pitagóricos, quienes consideraban sagrado el 10 escrito en forma triangular, y al que llamaban trianón. La unión debe formar una estrella

Este proyecto lo resolveré con progresiones aritméticas las cuales son series de números tales que la diferencia de dos términos periódicos cualesquiera de la sucesión es una constantese utilizan los siguientes términos
n= numero de términos
sn= sumatoria de los términos
d= diferencia
un=último término
u1= primer término
p = número de vértices o puntas

Complete la progresión de números triangulares con tres términos más

Halle una proposición general que represente el enésimo número triangular, en función de n
Sn=n2(u1+un)
u1=1
un=n
Sn=nn+12Justificación: con la fórmula sn=n2u1+un nos puede servir para hallar la proposición general ya que podemos reemplazar los datos de u1 que en este caso es 1 y al un como n porque no sabemos cuánto es y nos quedaría la siguiente fórmula.
Remplazamos
u1=n
un=n

Sn=n(n+1)2
Comprobación
Sn=n(n+1)2

S7=7(7+1)2=562=28 S8=8(8+1)2=722=36
Justificación: Se reemplazan los valoresde n en la proposición general y así se obtiene los valores deseados.

S1=1(1+1)2=22=1 S5=5(5+1)2=302=15

Limites [3;+∞) teniendo en cuenta que no hay estrella de menos de 3 puntas.
1. limn→∞n(n+1)2=∞(∞+1)2=∞2=∞

2. limn→0n(n+1)2=0(0+1)2=02=0

3. limn→1n(n+1)2=1(1+1)2=22=1

4. limn→1n(n+1)2=2(2+1)2=62=3
En las limitaciones 2 y 3 no secomprueba que para valores de n=0 y n=1 se tienen figuras de 0 y 1 puntas las cuales no son estrellas mientras que para un valor de n=2 se obtiene la primera estrella de 3 puntas
Considere que las figuras estelares de p vértices que llevan a los números p-estelares. A continuación se observan, en cuatro etapas, S1-S4, las primeras cuatro, representaciones corresponden a una estrella de seisvértices. El número 6-estelar en cada etapa es el número total de puntos que contiene el diagrama.

Halle el número de puntos (es decir el número estelar) en cada etapa, hasta la S6.
Organice la información de manera que pueda reconocer y describir patrones o regularidades.

Tabla 2.1
n | p | sn   | d |
1 | 6 | 1 | 12 |
2 | 6 | 13 | 12 |
3 | 6 | 37 | 12 |
4 | 6 | 73 | 12 |

Fórmulasn=pnn-1+1
Donde la p representa al número de vértices de la estrella, n es el número términos.
En la siguiente tabla explica como encontré la progresión

Tabla 2.2
P | n |  sn | desarrollo | progresión |
6 | 1 | 1 | 1*(6*0)+1 | 6(1*0)+1 |
6 | 2 | 13 | 2*(6*1)+1 | 6(2*1)+1 |
6 | 3 | 37 | 3*(6*2)+1 | 6(3*2)+1 |
6 | 4 | 73 | 4*(6*3)+1 | 6(4*1)+1 |

Por ejemplo tenemos1*(6*0)+1 donde 1 representa el número de términos (n), 6 el número de puntas (p), el 0 por que si al número de términos en este caso 1 le restamos 1 el resultado es 0 y al final +1 para que se pueda cumplir con la sumatoria de cada término.
Aquí se relaciona n con p por que la n será igual al número de términos de puntas por un factor
Gráfico de la progresión en un esquema de barras
sn=pnn-1+1Halle la expresión para el número 6-estelar en la etapa S7
sn=pnn-1+1
s7=6*77-1+1
s7=253

Justificación: Sencillamente se obtuvo una progresión más que es S7 mediante la fórmula obtenida.
Halle la proposición general para el número 6-estelar en la etapa Sn, en función de n.
sn=6nn-1+1
Se obtuvo esta fórmula con la ayuda de la tabla 2.2

Repita ahora los pasos anteriores para...