números naturales y divisibilidad

matemáticas

temario de E.S.O

MATEMÁTICAS - CONTENIDOS GENERALES
1. NUMEROS NATURALES:
1.1. El conjunto de los números naturales.
El conjunto de los números naturales está formado por:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}
Con los números naturales podemos:
a) Contar los elementos de un conjunto (número cardinal).
Ejemplo: 8 es el número de planetas del Sistema Solar.
b) Expresarla posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (número ordinal).
Ejemplo: Voy al 2º (segundo) piso.
c) Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.
Ejemplo: Mi número de socio en el carnet del Club de vela es 40257.
Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales entre sí:
5 es mayor que 3.
Ejemplo:
5>3
3 40 elalgoritmo termina y los números que nos quedan son
primos.
2
11

3
13

5

7
17

19

23
31

vrtc.es

29
37

16

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2.11.

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Tabla de números primos hasta 200
2 3

5

7

23
41

43

61

29

71

73

79

113
131

149

181

59

97

109

127

163

19

37

89

107

17

53

67

103

13

31

47

83101

11

137

151

157

167

173
191

193

139

179
197

199

2.12. Números compuestos.
Un número compuesto es el que posee más de dos divisores. Es decir, aquel que se puede dividir por sí
mismo, por la unidad y por otros números.
Ejemplo:
12, 72, 144,...
Los números compuestos se pueden expresar como productos de potencias de números primos. A dicha
expresión sele llama descomposición de un número en factores primos.
Ejemplo:
70 = 2 · 5 · 7
2.13. Factorizar un número
Para factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus
divisores primos hasta obtener un 1 como cociente.
Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y
a la izquierda loscocientes.
Ejemplo:

Solución: 432 = 24 · 33

vrtc.es

Solución: 2 520 = 23 · 32 · 5 · 7

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2.14. Máximo común divisor.
El máximo común divisor (m.c.d. o mcd) de dos o más números es el mayor número que divide a todos
exactamente.
Cálculo del máximo común divisor:
1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman los factores comunes conmenor exponente.
3. Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd.
Ejemplo de cálculo de máximo común divisor:
Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60:
Solución:
72 = 23 · 32
108 = 22 · 33
60 = 22 · 3 · 5
m. c. d. (72, 108, 60) = 22 · 3 = 12
12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.
2.15. Propiedades del máximo común divisor.
a) Los divisores comunes de varios númeroscoinciden con los divisores del máximo común divisor.
Ejemplo:
Calcular los divisores comunes de 54 y 90.
m.c.d (54, 90) = 18
Los divisores comunes de 54 y 90 son los divisores de 18.
Por tanto serían 1, 2, 3, 6, 9, 18.
b) Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su m.c.d también
queda multiplicado o dividido por el mismo número.
Ejemplo:
m.c.d. (54, 90)= 18
Si multiplicamos los dos números por 3 queda:
54 · 3 = 162
90 · 3 = 270
m.c.d. (162, 270) = 54 = 18 · 3
c) Esta propiedad es consecuencia de la anterior: Dados varios números, si se dividen por su m.c.d los
cocientes resultantes son primos entre sí (su m.c.d es 1).
Ejemplo:
m.c.d. (54, 90) = 18
54 : 18 = 3
90 : 18 = 5
m.c.d. (3, 5) = 1
d) Si un número es divisor de otro, entonceseste es el m. c. d de los dos.
Ejemplo:
El número 12 es divisor de 36.
m.c.d. (12, 36) = 12
2.16. Algoritmo de Euclides.
Un algoritmo es una secuencia de pasos para conseguir un resultado.
El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el m.c.d. de dos números.
Los pasos son:
vrtc.es

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a) Se divide el número mayor entre el menor....