Números Primos Y Criptografía

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TLALNEPANTLA

CARRERA: INGENIERÍA EN TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN

MATERIA: MATEMÁTICAS DISCRETAS II

PROFESOR:

INTEGRANTES:


UNIDAD: 5 PERIODO:

TLALNEPANTLA DE BAZ, EDO. MEXICO A

Introducción
Al oír la palabra números lo que primero nos viene a la cabeza es la lista 1, 2, 3, 4, 5,...,etc. Éstos son los que se conocen comonúmeros naturales. El estudio de los números naturales conforma lo que se llama Teoría de Números, una de las ramas más interesantes y complejas de las Matemáticas. Carl Fiedrich Gauss, considerado por muchos el matemático más importante de la historia, se refería a ella como la Reina de las Matemáticas. Entre los números naturales hay algunos que se pueden escribir como el producto de dos números máspequeños. Por ejemplo, el número 10 se puede escribir como el producto de 2 y de 5. Éstos son los números compuestos. Aquellos números que no son compuestos se denominan números primos. Es decir, los números primos son los números naturales formados por una sola pieza. Por ejemplo, el número 7 es primo ya que no podemos encontrar dos números naturales más pequeños que él de modo quemultiplicándolos se obtenga 7. A esto hay que añadir una excepción, la del número 1. Al ser el primer número natural no hay ninguno más pequeño que él y por consiguiente no es compuesto. Considerando lo dicho anteriormente, deberíamos decir que el número 1 es primo. Sin embargo, el número 1 presenta un comportamiento muy diferente al resto de los números primos debido a su condición de elemento neutro de lamultiplicación (multiplicar por 1 es como no hacer nada). Esto hace que no consideremos el número 1 ni como primo ni como compuesto. La lista de los números primos empieza por tanto así: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, etc. Y aunque es posible escribir números primos muy grandes, la lista completa de todos los primos es aún un misterio. En esta breve nota queremos ilustrar lafascinación por los números primos de matemáticos, profesionales y aficionados por igual, desde la antigüedad hasta nuestros días. Veremos que en las últimas décadas, con la revolución digital y el acceso generalizado a los ordenadores, esta fascinación se ha visto, si cabe, acentuada.

Teorema Fundamental de la Aritmética
La propiedad más importante de los números primos es que constituyen las piezasbásicas en las que se descompone cualquier número natural. Más exactamente, el Teorema Fundamental de la Aritmética dice que todo número natural mayor o igual que 2 puede ser expresado, de manera única, como producto de números primos. Por ejemplo, el número 90 podemos escribirlo como:
2 × 3 × 3 × 5
Es importante recalcar que el teorema no sólo nos dice que podemos escribir 90
como producto denúmeros primos, sino que además nos dice que hay una única manera de hacerlo. Por supuesto, se consideran iguales todas las maneras que se obtienen cambiando el orden de los números primos; en el caso de 90, consideramos como iguales los productos:
2 × 3 × 3 × 5 y 3 × 2 × 3 × 5
Obsérvese que si considerásemos el número 1 como número primo, la descomposición de un número natural como producto denúmeros primos no sería única, ya que podríamos escribir, por ejemplo:
6 = 2 × 3, 6 = 2 × 3 × 1, 6 = 2 × 3 × 1 × 1
El Teorema Fundamental de la Aritmética aparece en el libro IX de Los Elementos de Euclides, texto del siglo IV antes de nuestra era considerado por muchos como el primer libro de Matemáticas modernas de la historia. Resulta interesante observar el lenguaje que usa Euclides en estecontexto. En vez de decir que un número divide a otro, Euclides usa la expresión mide a, considerando conceptos geométricos: 3 mide a 15 porque podemos dividir un segmento de longitud 15 en 5 segmentos de longitud 3. Esta percepción geométrica es coherente con la mentalidad de la época que consideraba la palabra Matemáticas como un sinónimo de Geometría.
Con el Teorema Fundamental de la...