Números Racionales Infinitos

NÚMEROS IRRACIONALES INFINITOS
La siguiente expresión constituye un ejemplo de un número irracional infinito.

Considere este número irracional como una progresión de términos an , donde:
a1=
a2 =
a3 = etc.
Halle una fórmula para an+1 en función de an :
Calcule los valores decimales de los diez primeros términos de la progresión. Utilizando algún medio tecnológico, representegráficamente la relación entre n y an . Describa qué es lo que observa. ¿Qué sugiere esto con relación al valor de an-an+1, cuando n toma valores muy grandes? Utilice los resultados obtenidos para hallar el valor exacto de este número irracional infinito.
a1= = 1.414213562
a2 = =1.553773974
a3 = =1.598053182
a4 ==1.611847754
a5 = =1.616121207
a6 = = 1.617442799
a7 = =1.617851291
a8 = =1.617977531
a9 = =1.618016542
a10 = =1.618028597

Relación entre n y an :
n | an |
1 | 1.414213562 |
2 | 1.553773974 |
3 | 1.598053182 |
4 | 1.611847754 |
5 | 1.616121207 |
6 | 1.617442799 |
7 | 1.617851291 |
8 | 1.617977531 |
9 | 1.618016542 |
10 |1.618028597 |

Descripción e interpretación:
La gráfica muestra que mientras n tienda a un valor infinito, los últimos valores de an se diferencian cada vez menos entre sí. Esto me condujo a continuar probando más valores de n para calcular los siguientes valores de an , de tal manera que cuando llegué al n=19 y luego al n=20 noté que los valores de an eran los mismos según la aproximación de lacalculadora; a pesar que es evidente que el valor de an seguirá creciendo debido a la operación misma del ejercicio, pero los recursos tecnológicos tienen limitaciones y he llegado a ese límite.
¿Qué sugiere esto con relación al valor de an-an+1, cuando n toma valores muy grandes?
Si n toma valores muy grandes la diferencia de an-an+1 será muy pequeña, como se muestra en el gráfico en el ladoderecho donde los puntos forman al parecer una recta.

Utilice los resultados obtenidos para hallar el valor exacto de este número irracional infinito.
n | an |
10 | 1.618028597 |
11 | 1.618032323 |
12 | 1.618033474 |
13 | 1.61803383 |
14 | 1.61803394 |
15 | 1.618033974 |
16 | 1.618033984 |
17 | 1.618033987 |
18 | 1.618033988 |
19 | 1.618033989 |
20 | 1.618033989 |Los resultados que nos muestra el cuadro anterior deja claro que a partir n=19 el valor de an calculado en la máquina será: 1.618033989, con lo cual puedo afirmar que este es el valor exacto según el alcance de la calculadora.

Considere otro número irracional infinito , donde el primero término es . Repita todo el proceso descrito anteriormente para hallar el valor exacto de este númeroirracional infinito genérico.
a1= =1.847759065
a2= =1.961570561
a3= =1.990369453
a4= =1.997590912
a5= =1.999397637
a6= =1.999849404
a7= =1.999962351
a8= =1.999990588
a9= =1.999997647
a10= =1.999999412


Relación entre n y an :
n | an |
1| 1.84775907 |
2 | 1.96157056 |
3 | 1.99036945 |
4 | 1.99759091 |
5 | 1.99939764 |
6 | 1.9998494 |
7 | 1.99996235 |
8 | 1.99999059 |
9 | 1.99999765 |
10 | 1.99999941 |

Descripción e interpretación:
La gráfica muestra que mientras n tienda a un valor infinito, los últimos valores de an se diferencian cada vez menos entre sí. Esto me condujo a continuar probando más valoresde n para calcular los siguientes valores de an , de tal manera que cuando llegué al n=16 y luego al n=17 noté que los valores de an eran los mismos según la aproximación de la calculadora; a pesar que es evidente que el valor de an seguirá creciendo debido a la operación misma del ejercicio, pero los recursos tecnológicos tienen limitaciones y he llegado a ese límite.
¿Qué sugiere esto con...