Números Reales - Valor Absoluto

Dado el conjunto

a) Calcular el valor de para que 3 sea ínfimo del siguiente conjunto, sabiendo que .
b) Escribir como intervalo el conjunto solución de A para .
c) Para el conjunto halladoen b) calcular: el conjunto de cotas inferiores, el ínfimo y el mínimo, si existen, y el conjunto de cotas superiores, el supremo y el máximo, si existen.


Solución:

a) Escribamos el conjuntocomo intervalo. Por hipótesis luego









Remplazando, podemos escribir:




Despejando:



Podemos observar que el conjunto en cuestión es el intervalo abierto
Recordemos quepor definición:
“el ínfimo de un conjunto es la mayor de sus cotas inferiores”
En este caso el conjunto de cotas inferiores es el intervalo , por lo tanto el ínfimo del conjunto es y el valor depara que 3 resulte ínfimo se obtiene resolviendo la siguiente ecuación:






b) Escribamos el conjunto para :



Resolvamos esta inecuación con valor absoluto. Para ello, debemos resolverdos ecuaciones en paralelo pues:



















Luego:

















Luego:










El conjunto solución es:c) Antes de resolver este inciso recordemos:
“Sea un conjunto de :
es cota superior de si
es supremo de si es la menor de las cotas superiores
es máximo de si es la menor de las cotassuperiores y

es cota inferior de si
es ínfimo de si es la mayor de las cotas inferiores
es mínimo de si es la mayor de las cotas inferiores y ”

En resumen, un número real se dice cotasuperior de un conjunto A de números reales, si es mayor o igual que cualquier elemento de A; supremo de A si es la menor de las cotas superiores y decimos que es máximo de A si es cota superior ypertenece al conjunto A. Llamamos, cota inferior de un conjunto A de números reales, a un número real que es mayor o igual que cualquier elemento de A; supremo de A si es la menor de las cotas superiores...