Números reales

Unidad 1. Números reales
Competencia específica a desarrollar Plantear y resolver problemas que requieren del concepto de función de una variable para modelar y de la derivada para resolver. Comprender las propiedades de los números reales para resolver desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita y desigualdades con valor absoluto, representando las soluciones en la recta numéricareal.

1.1. La recta numérica
Entre los muchos sistemas usados para representar un grupo de números, uno de los más útiles es la recta numérica. Para ilustrar la construcción de una recta numérica coloquemos los elementos del grupo de los números naturales en correspondencia uno a uno con los puntos de la una línea. Puesto que los números naturales están igualmente espaciados, seleccionamos lospuntos tales que las distancias entre ellos sean iguales. El punto inicial se señala como 0, el que sigue, 1, el siguiente, 2, etc., usando los números naturales en el orden normal de contar. (ver fig. 1) A tal disposición frecuentemente se le denomina escala y un ejemplo familiar lo constituye la escala del termómetro. La recta numérica es un sistema ideal para representar las relaciones entreenteros y otros números tales como las fracciones y los decimales. Es evidente que sobre la línea existen muchos puntos además de aquellos que representan los enteros. Ejemplo de ello son los puntos que representan los números ½ y 2.5.

Fig. 1. La recta numérica Números negativos Los números que presentan un signo más o menos se llaman números con signo. Un número sin signo se entiendo que espositivo y se le trata como si estuviera precedido por un signo más. Si se desea realzar el hecho de que un número es positivo, se coloca un signo más al frente del número, como en +5, que se lee “más cinco”. Por lo tanto, +5 ó 5 indica que el número 5 es positivo, Si un número es negativo, aparece un signo menos, como en -9. Al tratar con números con signo debe hacerse notar que los signos más ymenos tienen dos funciones separadas y distintas. Pueden indicar cuándo un número es positivo o negativo, y también señalan la operación de la adición o sustracción. Cuando se opera totalmente con números positivos no es necesario preocuparse de esta distinción, ya que los signos más o menos indican solamente adición o sustracción.

Sin embargo, cuando en un cálculo están incluidos también númerosnegativos es importante distinguir entre un signo de operación y el signo del número. Para determinar cuándo un número particular es mayor o menor que otro se piensa en todos los números, tanto positivos como negativos, ordenados a lo largo de la recta numérica. El cero se coloca en el centro de la línea. Los números positivos se extienden desde cero hacia la derecha. Los números negativos seextienden desde cero hacia la izquierda (ver fig. 2). De éste modo, los números van desde los más pequeños hasta los más grandes cuando se desplazan de izquierda a derecha a lo largo de la línea. Todo número que se encuentra a la izquierda de un número dado es menor que él. Este disposición muestra que todo número negativo es menor que cualquier número positivo.

Fig. 2. Recta numérica mostrandolos números positivos y negativos. Valor absoluto de un número entero. Los números +3 y -3 se encuentran a la misma distancia del cero. Ocurre así porque los dos números enteros están formados por el mismo natural, el 3, aunque con distinto signo. El número natural 3 se llama valor absoluto de +3 y -3, y si indica así: |+3| = |-3| = 3 Localización de fracciones en la recta numérica Todas lasfracciones pueden ubicarse en la recta numérica. Estudiemos cómo se hace en cada uno de los casos. Fracción propia Toda fracción propia se ubica entre el 0 y el 1 de la recta. Sólo habrá que dividir ese segmento de recta en las partes que indica el denominador de la fracción; mientras, el numerador nos señala cuántas partes hay que tomar. Por ejemplo, si ubicamos 2/3 en la recta numérica, dividimos en...