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UNIDAD N º 2
NÚMEROS COMPLEJOS

El número complejo como par ordenado

Los números complejos pueden representarse con pares ordenados de números reales siempre que se definan para ellos la igualdad y las operaciones de suma y de multiplicación.

Ejemplos: ( 3 ; 4 ) ; ( - 2 ; 5 )

En general el número complejo se representa con (a ; b) , (c ; d) , etc. el primern º de cada par se denomina primera componente o parte real; el segundo nº, segunda componente o parte imaginaria.

Simbólicamente: C = { (a ; b ) ⁄ a  b ∈ R }

Igualdad: ( a ; b ) = ( c ; d ) si a = c y b = d

Ejemplo:
( 2 ; - 3 ) = ( 2 . 1 ; - 6 : 2 ) pues 2 . 1 = 2 y - 6 : 2 = - 3

Suma:( a ; b ) + ( c ; d ) = ( a + c ; b + d )

Ejemplo:
( 3 ; 2 ) + ( -1 ; 4 ) = ( 3 – 1 ; 2 + 4 ) = ( 2 ; 6 )

Producto: ( a ; b ) . ( c ; d ) = ( ac – bd ; ad + bc )

Ejemplo:
( 1 ; 2 ) . ( 0 ; 3 ) = ( 1 . 0 – 2 . 3 ; 1 . 3 + 2 . 0 ) = ( - 6 ; 3 )

El conjunto de los números complejos contiene a los númerosreales. ( R ⊂ C )
Todo número complejo de parte imaginaria nula representa a un número real; todo complejo de parte real nula representa a un número imaginario. En particular, el complejo ( 0 ; 0 ) representa a 0 y el número ( 0 ; 1 ) a la unidad de los números imaginarios, y se la designa con i.

( 4 ; 0 ) es un número real
( 0 ; 3 ) es un número imaginario
( a ; 0 )es real
( 0 ; a ) es imaginario
( 0 ; 1 ) i
A todo número real corresponde un número complejo de parte imaginaria nula y recíprocamente.

Ejemplos:
3 ( 3 ; 0 ) ; a ( a ; 0 )

De acuerdo con esta relación, resulta:

* Dos números reales son iguales si los correspondientes números complejos tienen parte realesiguales y partes imaginarias nulas:

a = b ( a ; 0 ) = ( b ; 0 )

* La suma de dos números reales es otro número real

3 + 5 = ( 3 ; 0 ) + ( 5 ; 0 ) = ( 8 ; 0 ) = 8

* El producto de dos números reales es otro número real

a . b ( a ; 0 ) . ( b ; 0 ) = [ ( a . b – 0 . 0 ); ( a . 0 + b . 0 ) ] = [ a b ; 0 ]

Ejemplo:

3 . 5 = ( 3 ; 0 ) . ( 5 ; 0 ) = [ ( 3 . 5 – 0 . 0 ) ; ( 3 . 0 + 0 . 5 ) ] =

= ( 15 – 0 ; 0 + 0 ) = ( 15 ; 0 ) = 15

* El producto de un número real por la unidad imaginaria es un número imaginario

a . i ( a ; 0 ) . ( 0 ;1 ) = [ ( a . 0 – 0 .1 ) ; ( a . 1 + 0 . 0 ) ]= [ 0 ; a ]

4 . i = ( 4 ; 0 ) . ( 0 ; 1 ) = [ ( 4 . 0 – 0 . 1 ) ; ( 4 . 1 + 0 . 0 ) ] =

= ( 0 – 0 ; 4 + 0 ) = ( 0 ; 4 ) = 4i


Expresión de números complejos en forma binómica:

Todo número complejo es igual a la suma de un número real y un número imaginario.

Ejemplo:
( a ; b ) = ( a ; 0 ) + ( b ; 0 ) ( 0; 1 ) = a + bi FORMA

( 4 ; 3 ) = ( 4 ; 0 ) + ( 3 ; 0 ) ( 0 ; 1) = 4 + 3i BINÓMICA

= [ ( 4 ; 0 ) ] + [ ( 3 . 0 – 0 . 1 ) ; ( 3 . 1 + 0 . 0 ) ] =

= ( 4 ; 0 ) + [( 0 – 0 ; 3 + 0 ) ] =

= ( 4 : 0 ) + ( 0 ; 3 ) = 4 + 3i
a + 0i representa a unnúmero real
0 + bi representa a un número imaginario
0 + 0i representa a 0

Propiedades de la suma y del producto: cumplen las mismas propiedades que la suma y el producto de números racionales e irracionales.

Números complejos conjugados: Dos números complejos se llaman conjugados cuando tienen partes reales iguales y partes imaginarias opuestas.

El conjugado de:...