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REPASO DE CONCEPTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICAS
















Jesús Carrera
Ingeniería Geoambiental
ETSI Caminos, UPC

Enero, 2004

UNA NOTA PREVIA

Estos apuntes contienen una versión resumida de los conceptos matemáticos mínimos para seguir la asignatura de Ingeniería Geoambiental. En particular, se revisan conceptos de Teoría de Campos y Ecuacionesen Derivadas Parciales (EDPs). Estos conceptos han sido objeto de asignaturas anteriores (singularmente, las matemáticas y mecánicas de medios continuos de 2º y 3º). Sin embargo, es frecuente que aún queden cosas sin aclarar. El objetivo de estas notas es forzar una revisión rápida para refrescar y volver a pensar todos esos conceptos y para facilitar el seguimiento del resto de la asignatura. Nose pretende enseñar dichos conceptos. En particular, se ha eliminado todo asomo de rigor matemático. Dicho rigor es necesario cuando se quiere trabajar con campos y ecuaciones diferenciales. Todas las definiciones, propiedades y teoremas que se presentan suponen superficies y campos ideales. En la realidad no lo son. Por ello, estos apuntes sirven para seguir la asignatura, pero no necesariamentepara trabajar con campos y EDPs.
































Índice

REPASO DE CONCEPTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICAS 1
1 Campos 1
2 Operadores diferenciales 9
3 Teoremas integrales 14
4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE 16

1 Campos
El tratamiento de cualquier fenómeno físico requiere el empleo de funciones. En Ciencias Naturales el concepto de funciónes idéntico al de las matemáticas (aplicación de un espacio en otro), pero con unidades. Un caso muy importante de funciones son las que están definidas sobre el Espacio Geométrico Ordinario (EGO); a las que llamaremos campos. Las emplearemos para definir el estado de un sistema (p. ej., temperatura, presión o similares) o sus propiedades (p. ej., densidad, porosidad o similares). En este apartadose define formalmente el concepto de campo y los distintos tipos de campos.
1.1 Definición de campo
Un campo es una función definida sobre el EGO. Es decir,

(1.0)
En esta definición, se debe entender que el espacio origen es el EGO. Con frecuencia trabajaremos con dimensiones menores. Por ejemplo, en acuíferos es habitual trabajar en dos dimensiones y en ríos es normal trabajar con unasola dimensión () representativa de la longitud a lo largo del río. En ambos casos, sin embargo, debe entenderse la reducción de dimensión como una simplificación de una realidad tridimensional. La dimensión del espacio imagen depende del tipo de campo: 1 para campos escalares (p. ej. temperatura), 3 para campos vectoriales en (p. ej. velocidad), 9 para campos tensoriales en (p. ej.deformación). En las secciones sucesivas detallaremos las peculiaridades de cada uno de estos tipos de campos.
Cabe plantearse la cuestión de qué se entiende por valor en el punto ya que existen variables que no tienen sentido físico a nivel puntual, sino que necesitan un volumen mínimo para poder ser definidas. De hecho, el mismo proceso de medida implica un cierto volumen de muestra. Pues bien,entenderemos como valor puntual el límite para volúmenes decrecientes de nuestra:

(1.0)
donde es el valor promedio (medido) de sobre el volumen de magnitud y centrado en . Esta definición parece seria, pero sugiere que tiene sentido cuando tiende a cero. Esto no es siempre cierto. Por ejemplo, la porosidad en un punto vale cero si el punto cae en poro o 1 si cae en grano. Al aumentar el tamaño delvolumen de muestreo, la porosidad fluctuará hasta alcanzar un valor más o menos estacionario a partir de un cierto “volumen elemental representativo” (VER). (Ver Figura 1 .1). Aceptaremos que los campos están definidos sobre dicho volumen.

Figura 1.1: Volumen elemental Representativo
1.2 Coordenadas. Cambio de coordenadas
En la definición de campo (1), representa un punto del espacio....