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SISTEMAS DE ECUACIONES Y
SISTEMAS DE INECUACIONES
En esta Unidad aprenderás a:
j Plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales:
recordando los métodos de resolución clásicos.
j Discutir sistemas lineales de dos ecuaciones con dos
incógnitas estudiando sus respectivos coeficientes.

j Aplicar el método de Gauss para su resolución.
j Aplicar dicho método para discutir sistemaslineales
de tres ecuaciones.
j Resolver sistemas no lineales sencillos.

j Iniciar el estudio de sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas

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SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES

j 5.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas

y
x
Fig. 5.1.

Importante
La fórmula e 5 vt no es lineal enlas variables v y t, pues su producto hace que el término v ? t sea
de grado 2.
En cambio, 2x 1 2y 5 50 sí es lineal.

Más datos…
Un sistema es equivalente a otro
si ambos tienen las mismas soluciones.

Una ecuación con dos incógnitas permite describir cómo reacciona una de ellas si
variamos la otra. Así, por ejemplo:
• La fórmula de la cinemática, espacio 5 velocidad ? tiempo (e 5 v ?t), refleja distintas
combinaciones de velocidades y tiempos que se pueden emplear en recorrer un espacio determinado. Por ejemplo, 200 km pueden hacerse a una velocidad de 100 km/h
en 2 horas; o a 80 km/h, en 2,5 horas.
• Las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro sea de 50 m pueden variar desde
uno estilizado de 5 x 20 m a otro cuadrado de 12,5 m de lado (Fig. 5.1.). Son distintaslongitudes que verifican la ecuación 2x 1 2y 5 50, llamando x a la base e y a la altura
del rectángulo.
• Las ecuaciones con dos incógnitas de grado uno se llaman lineales. La forma reducida de esta ecuación lineal es ax 1 by 5 c, siendo a, b los
y
coeficientes y c el término independiente.
La solución de una ecuación con dos incógnitas es todo par de
valores de las mismas que verifican la igualdad.En general, estas ecuaciones tienen infinitas soluciones que coinciden con los
puntos de una recta. Así, por ejemplo, la ecuación 22x 1 y 5 1 se
cumple para los pares (21, 21), (0, 1), (1, 3), (2, 5), …, y para
todos los puntos de la recta representada en la Figura 5.2.

1
x
1

Fig. 5.2.

Un par de ecuaciones lineales con dos incógnitas que se consideran simultáneamente forman unsistema. Su forma más simplificada sería:
⎧ ax 1 by 5 c
⎨
⎩aʹx 1 bʹ y 5 cʹ
• Una solución del sistema es toda pareja de valores que asignados a las incógnitas
satisfacen al mismo tiempo las dos ecuaciones.
⎧2x 12 y 53
el par x = 21, y 5 1 es solución, ya que
Por ejemplo, en el sistema ⎨
⎩2 x 1 y 521
2(21) 1 2 ? 1 5 3
2(21) 1 1 5 21
Sin embargo, el par x 5 1, y 5 2 no es solución, puessatisface la primera ecuación pero
no la segunda.

A. Resolución de sistemas

Más datos…
En (3), la ecuación obtenida se
dice que es combinación lineal
de las otras dos.

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Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones. Para ello, se ha de transformar
el sistema original en otro equivalente que tenga, al menos, una ecuación con una sola
incógnita, la cual sepodrá despejar con las técnicas habituales. Las transformaciones
que pueden hacerse en un sistema, de forma que no se alteren sus soluciones aunque sí
la forma de las ecuaciones que lo componen, son:
(1) Transponer números o incógnitas de un miembro a otro.
(2) Multiplicar los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.
(3) Sumar o restar a una ecuación otra multiplicadapreviamente por un número.
Estas transformaciones se concretan en los tres métodos clásicos de resolución de sistemas: métodos de sustitución, de igualación y de reducción.

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SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES

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Método de sustitución
Consiste en despejar una cualquiera de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra.
x 12 y...