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Congruencia
Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros a y b tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural m, llamado elmódulo; estose expresa utilizando la notación

que se expresa diciendo que a es congruente con b módulo m. Las siguientes expresiones son equivalentes:
* a Es congruente con b módulo m

* Elresto de aentre m es el resto de b entre m

* m divide exactamente a la diferencia de a y b

* a se puede escribir como la suma de b y un múltiplo de m

El término congruencia se utilizaademás con dossentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primop y cada entero a nodivisible por p tenemos la congruencia:

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruenciatiene solución y en caso afirmativocuales son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia , tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por y , es decir x puede ser cualquier entero delas sucesiones 11k + 4 y 11k + 7.Contrariamente la congruencia, no tiene solución.
La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro DisquitionesAritmeticae en 1801. Su utilización se haextendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales deanillos de números algebraicos, etc.
Propiedades
Larelación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad, por citar algunas:
* La congruencia para un módulo fijo m es unarelación de equivalencia ya que se verifican laspropiedades:
1. reflexividad:
2. simetría: si entonces también
3. transitividad: si y entonces también.
* Si a es coprimo con m y, ento