nada

PROBABILIDAD

Y

ESTADÍSTICA

Notas de clase

Profesores:

A. Leonardo Bañuelos S.
Nayelli Manzanarez Gómez

TEMA IV
MODELOS PROBABILÍSTICOS COMUNES

Definición 4.1
Sea
una variable aleatoria. que toma los valores

, con

igual probabilidad

INTRODUCCIÓN

,
Las variables aleatorias sirven para modelar problemas con incertidumbre en los cuales
la pregunta que sedesea contestar está claramente delimitada. En muchas ocasiones los
problemas de interés, coinciden en la forma en la que se define la variable aleatoria, y
con ello su función de probabilidad o de densidad y estas coincidencias permiten la
formulación de modelos. Los modelos o distribuciones de las variables aleatorias pueden
clasificarse en continuos y discretos.

entonces ladistribución es discreta uniforme con parámetro
Se denota
En la notación

.

.
, la variable aleatoria es

, mientras que

es un

1

DISTRIBUCIONES DISCRETAS
Una gran cantidad de fenómenos pueden modelarse utilizando distribuciones discretas
o continuas. Para el caso de las distribuciones discretas considérense los siguientes
ejemplos.
- En el lanzamiento de una moneda, ¿cuál es laprobabilidad de obtener una águila?
- En el lanzamiento de monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener águilas?
- En un metro cuadrado de tela, ¿cuál es la probabilidad de observar defectos? etc.
Las distribuciones discretas que se estudiaran en este tema son:
Uniforme
Bernoulli
Binomial
Geométrica
de Pascal (Binomial negativa)
Hipergeométrica
de Poisson

parámetro del cual depende ladistribución . Puede utilizarse la notación indicando el
parámetro, o simplemente
. En las definiciones aquí mostradas se escribirá la
función utilizando el parámetro, pero en la solución de problemas se escribirá
simplemente
.

Teorema 4.1
Si
es una variable aleatoria con distribución discreta uniforme,
entonces:

DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME

Demostración
De la definiciónde valor esperado

La distribución discreta uniforme es una de las más simples de todas las distribuciones
discretas de probabilidad. Es aquella en la cual la v.a. asume cada uno de sus valores con
la misma probabilidad.
Y de la definición de la variancia

1

)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S./ N.M.G.

En realidad
no es un parámetro. Ladistribución discreta uniforme no tiene
parámetros, pero en este momento es de utilidad la notación
.

Probabilidad y Estadística

Tema IV

Pág. 2

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
Es el caso más sencillo para modelar un experimento. Tiene únicamente dos resultados
posibles; satisfactorio o insatisfactorio, bueno o malo, alto o bajo, etc. que en general,
pueden denominarse éxito (e) ofracaso (f), con probabilidades
y
,
respectivamente.
Debe observase la similitud entre las fórmulas de la media y la variancia de una
v.a. discreta y las fórmulas utilizadas en la estadística descriptiva para la media y la
variancia de un conjunto de datos.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo 4.1
Se selecciona a un alumno de un grupo de 10 para supervisar cierto trabajo,escogiendo aleatoriamente el nombre de una caja que contiene 10 papeles
numerados del 1 al 10.
a)
Obtener la fórmula para la distribución de probabilidad de
que
representa el número del papel que se saca. ¿Cuál es la probabilidad
de que el número que se saque sea menor a 4?
b)
Determinar la media y la variancia de .
Resolución
a)

Definición 4.2
Sea
la variable aleatoria que representael número de éxitos que se
obtienen al realizar un ensayo de Bernoulli, entonces
distribución de Bernoulli con parámetro

tiene una

.

Se denota
La distribución de Bernoulli también puede escribirse como:

Teorema 4.2
Si
es una variable aleatoria con distribución de Bernoulli, entonces:
b)

La demostración de la media y la variancia es inmediata a partir de la
definición....