nada

Universidad de Concepci´n
o
Facultad de Ciencias F´
ısicas y Matem´ticas
a
Departamento de Ingenier´ Matem´tica
ıa
a
Apuntes sobre funciones expa y loga (529103).
Definamos primero qu´ significa ax si a ∈ R y x ∈ Q.
e
Si x ∈ N:
x ∈ N ⇒ ax = a · a · · · · · a,
x veces
Por ejemplo,
23 = 2 · 2 · 2 = 8,

(−2)2 = (−2) · (−2) = 4,

(−2)3 = (−2) · (−2) · (−2) = −8.

Note que si a ≥ 0,entonces ax ≥ 0. Si a < 0 y x es par, entonces ax > 0. S´lo si a < 0
o
y x es impar, ax < 0.
Si x ∈ Z:

como se defini´ antes, si x > 0,
o

x
a = 1,
x = 0,
 x

1 y
−y
a =a = a ,
x = −y, y ∈ N
Por ejemplo,
−2

3

1
2

1
1
= 2 = ,
3
9

−3

=

1
1 3
2

=

1
1
8

=8

De nuevo ocurre que s´lo cuando a < 0 y |x| es impar, ax < 0.
o
1
Potencia x = q, (q ∈ Z) de un n´mero real a > 0: Supongamos ahora que a > 0
u
1
√
si q ∈ N, se define a q (o q a) como el unico n´mero real b > 0 tal que bq = a. Por
´
u
ejemplo,
√
√
1
1
3
4 2 = 4 = 2 pues 22 = 4, 81 3 = 81 = 9 pues 93 = 81.
1

1

1

si q < 0, q = −p con p ∈ N y a q = a− p = 11 y a p es como en el punto anterior.
ap
Por ejemplo,
1
1
1
1
1
1
4− 2 = 1 = , 81− 3 = 1 = .2
9
42
83
Para a > 0, p, q ∈ Z se define entonces la potencia con exponente racional de a como
p

1

a q = (ap ) q .
Si x ∈ R−Q, tambi´n es posible definir ax , pero esta definici´n est´ fuera de los objetivos
e
o
a
x
de este curso. Sin embargo, s´ veremos las propiedades de a siendo a ∈ R, a > 0, a = 1
ı
1
yx∈R .
1

Si a = 1, entonces ∀ x ∈ R se tiene que ax = 1x = 1.

1Figura 1: Funci´n expa con a > 1 (arriba) y 0 < a < 1 (debajo)
o

2.

Funci´n expa, a ∈ R, a > 0, a = 1
o

Dado a ∈ R, a > 0, a = 1, la funci´n
o
expa : R −→ R+
es tal que ∀ x ∈ R : expa (x) = ax .
En la figura 1 se muestran los gr´ficos de algunas de estas funciones con 0 < a < 1
a
y a > 1. El n´mero e que aparece en los gr´ficos es un n´mero real especial que se
u
a
u
denominan´mero de Euler. Por el momento lo m´s importante a saber de ´l es que
u
a
e
2 < e < 3.
Observe que:
1. el dominio de las funciones expa es todo el conjunto de los n´meros reales,
u
2. el recorrido de ellas es R+ = {x ∈ R : x > 0},
3. el punto (0, 1) pertenece al gr´fico de todas ellas, es decir, ∀ a ∈ R, a > 0, a = 1
a
0
se cumple que a = 1,
4. si a > 1, las funciones expa sonestrictamente crecientes (a medida que x crece,
crecen los valores de expa (x)), es decir,
∀ x1 , x2 ∈ R x1 < x2 ⇔ expa (x1 ) < expa (x2 ).
2

1
5. si 0 < a < 1, entonces b = a > 1 y ax = b1 . Como la funci´n bx es estrictamente
o
x
x
creciente, a es estrictamente decreciente, es decir,

∀ x1 , x2 ∈ R x1 < x2 ⇔ expa (x1 ) > expa (x2 ).
6. si a > 1,
l´ ax = +∞,
ım

l´ ax = 0.
ım

x→+∞Si 0 < a < 1, entonces b =

1
a

> 1 y ax =

x→−∞
1
bx

con lo que

1
1
= 0,
l´ ax = l´
ım
ım x = +∞,
x
x→+∞
x→+∞ b
x→−∞
x→−∞ b
lo cual significa que si a > 1, a medida que x crece tambi´n crecen los valores
e
de ax y no existe M ∈ R, M > 0 tal que ∀ x ∈ R : ax < M . Adem´s, a
a
x
medida que x decrece, los valores de a se acercan a cero. Si 0 < a < 1, ocurre locontrario, es decir, a medida que x crece, los valores de ax se acercan a cero y a
medida que x decrece, crecen los valores de ax y no existe M ∈ R, M > 0 tal que
∀ x ∈ R : ax < M .
l´ ax = l´
ım
ım

7. las funciones son biyectivas, es decir, es posible definir su inversa.
Antes de definir la inversa de la funci´n expa , veamos c´mo resolver ecuaciones e inecuao
o
ciones que involucren a lafunci´n expa usando las propiedades antes mencionadas y las
o
siguientes:
1. ∀ x1 , x2 ∈ R : ax1 ax2 = ax1 +x2 ,
2. ∀ x1 , x2 ∈ R :

ax1
ax2

= ax1 −x2 ,

3. ∀ x1 , x2 ∈ R : (ax1 )x2 = ax1 x2 .
Ejemplo 2.1. Resuelva las siguientes ecuaciones e inecuaciones en R:
1
1. 2x−2 = 4 ,

1
⇔ 2x−2 = 2−2
22
y, como la funci´n exp2 es inyectiva, esta igualdad se cumple si y s´lo si
o
o...