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EJERCICIOS RESUELTOS

1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidadgenerada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir paraobtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.
Solución
a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva lafunción crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
-Se deriva la función:
R`(x)=-0,004x+0,8
-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:
R`(x)=0 ,

-Se estudia el signo de laderivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:
ff ´ + 200 -
se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4f(18)=2.(18)2 por lo tanto enx=18 tiene el mínimo absoluto.
La gráfica es:

Observación: Otra forma de justificar que el mínimo es absoluto, es diciendo que la función f es cuadrática. Por lo tanto en la abscisa del vértice sealcanza su mínimo (a>0) que es el punto de tangente horizontal.

b) Teniendo en cuenta que y= 36 –x, tenemos h(x)= , derivando:
, h’(x)=0 , elevando al cuadrado ambos miembros y operando sellega a que x=18.
La función h está definida en el intervalo [0, 36], luego el máximo lo tendrá en 18 pues:
f(18)= , y f(0=f(36)=6 (Observa que el menor valor posible lo alcanza en 0 y 36)

lagráfica es:

(Observar que no es necesario calcular la derivada segunda para el cálculo de los extremos absolutos, se aplica el teorema de Bolzano-Weierstrass que dice: “toda función continua...