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Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
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Departamento de Matem´tica
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Matem´tica I (MAT021)
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1

Semestre de 2011. PAUTA Control 1A. Martes 5 de abril de 2011.

1.Problema 1 (40 pts.): Considere las siguientes funciones proposicionales.
p
q

: x+y =1
: x = −y

Para cada una de las siguientes afirmaciones, determine si es verdadera o falsa:
(A) ∀x ∈ R, ∃y∈ R, p ⇒ q .
(B) ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, p ⇒ q .
(C) ∃x ∈ R, ∃y ∈ R, p ⇒ q .
Soluci´n: Tenemos que
o
p⇒q≡p

∨

q

≡x+y =1

∨

x+y =0

≡x+y =1
Ahora,
• Para cada x ∈ R, tomamos y =−x. Entonces x + y = x − x = 0 = 1

, por lo que (A) es verdadera.

• Suponiendo que exista x dado en (B), tenemos que y = 1 − x cumple x + y = 1
tenemos una contradicci´n. Por lo tanto (B) esfalso.
o
• Tomamos x = 1, y = 1. Entonces x + y = 2 = 1

, por lo que p ⇒ q no se cumple y

y por lo tanto p ⇒ q es verdadera. Por lo tanto (C) es verdadera.

2. Problema 2 (20 pts.):Dados a, b ∈ R tales que a < b, demuestre que a <

a+b
< b.
2

Soluci´n:
o
Sumando b en ambos lados de la desigualdad, tenemos que
a < b =⇒ a + b < 2b
a+b
=⇒
0.
Entonces

|x − 4| +3
≤ 5 ⇐⇒ |x − 4| + 3 ≤ 5(x + 1)
x+1
⇐⇒ |x − 4| ≤ 5x + 2
⇐⇒ −5x − 2 ≤ x − 4 ≤ 5x + 2
⇐⇒ −5x − 2 ≤ x − 4
⇐⇒ 2 ≤ 6x
1
⇐⇒ x ≥
3
1
⇐⇒ x ≥ .
3

∧

∧

x − 4 ≤ 5x + 2

−6 ≤ 4x
3
∧x≥−
2

Por lo tanto el conjunto soluci´n en este caso es
o
1
S1 = (−1, ∞) ∩ [ , ∞)
3
1
= [ , ∞)
3
Caso 2: x + 1 < 0.
Entonces

|x − 4| + 3
≤ 5 ⇐⇒ |x − 4| + 3 ≥ 5(x + 1)
x+1
⇐⇒|x − 4| ≥ 5x + 2
⇐⇒ x − 4 ≥ 5x + 2
⇐⇒ −6 ≥ 4x
3
⇐⇒ x ≤ −
2
1
⇐⇒ x ≤
3

∨

∨

x − 4 ≤ −5x − 2

6x ≤ 2
1
∨ x≤
3

Por lo tanto el conjunto soluci´n en este caso es
o
1
S2 =(−∞, −1) ∩ (−∞, ]
3
= (−∞, −1).
Se concluye que el conjunto soluci´n, igual al dominio de la funci´n f es
o
o
1
dom(f ) = S1 ∪ S2 = (−∞, −1) ∪ [ , ∞).
3

(MAT021 Control 1)

2...