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Fundamentos Matem´ ticos para la Ingenier´a. Curso 2012-2013. a ı

Tema 3. Hoja 1

´ Tema 3. FUNCIONES. CALCULO DIFERENCIAL.

Funciones
1. Determinar el dominio de las siguientes funciones: (2x + 3)(x − 1) − 3x + 2)(x2 − 1) 1 √ b) f (x) = √ 2−x+ x−1 √ c) f (x) = 3 x + 1 √ 1 d) f (x) = 3 −x + √ 2+x a) f (x) = (x2 2. Determinar el dominio de las siguientes funciones: a) f (x) = ln(x + 1) −ln(3 − x) b) f (x) = ln c) f (x) = √ (x − 1) (x + 1)

1 + sin x x+1 d) f (x) = arc cos 2 x +1 3. Sea f (x) = 1−x . Calcular: 1+x

a) f (0), f (−x) b) f (x + 1), f (x) + 1 c) f (1/x) 1 d) f (x)

Derivadas
4. Calcular la derivada de las siguientes funciones: a) y = x5 − 2x3 + 3
6

b) y = (1 + x)(9 − x2 ) √ 3 c) y = 2x2 − 5x + 7

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Tema 3. Hoja 2

d) y =

(x − 1) (x + 1)

5. Calcular la derivada de las siguientes funciones: a) y = ex(x −1) √ b) y = 5 ex + 1 (x − 1) c) y = ln (x + 1) d) y = x ln2 (x − 1) 6. Calcular la derivada de las siguientes funciones: a) y = tan(x2 + 2) √ b) y = arcsin( x) c) y = x arctan2 x d) y = ln(4x − cos5 x) 7. Calcular la derivada de las siguientes funciones impl´citas: ı a) x2 + y2 = 25 b) x3 + y 3 = 6xy √ c) xy = 1 + x2 y d) x sin y + y cos x = 1 e) cos(x + y) = y 2 sin x ´ 8. Dada la funcion f (x) = ln(1 + x) , calcular f , f y f ´ 9. Comprobar que f (x) verifica la ecuacion indicada en los siguientes casos: a) f (x) = ex sin x : f (x) − 2f (x) + 2f (x) = 0 1 1 b) f (x) = ln : xf (x) + 1 = 1+x 1+x c) f (x) = ex + ln(1 − x) : f (0) = 0
2

Aplicaciones de la derivada
´10. Obtener la ecuacion de la recta tangente a la curva y = x2 + x − 1 en el punto de abscisa x = 8 . ´ 11. Obtener la ecuacion de la recta tangente a la curva y = sin(x2 + 1) en el punto de abscisa x = −1 + π . 3

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Tema 3. Hoja 3

´ 12. Obtener la ecuacion de la recta tangente a la curva x3 + y 3 = 6xy en el punto(3,3).¿Qu´ puntos de la curva tienen tangente horizontal o vertical? e x2 y 2 13. Hallar las ecuaciones de la rectas normal y tangente a la hip´ rbola e − = 1 en 16 9 el punto (-5,9/4). 14. Hallar las ecuaciones de las rectas normal y tangente a la elipse √ punto (−1, 4 2).
x2 9

+

y2 36

= 1 en el

15. ¿Qu´ puntos de la curva y 2 = 5x4 − x2 tienen tangente horizontal o vertical? e ´ ´ 16. Hallarla ecuacion de la recta normal a la par´ bola y = x2 +5x que forma un angulo a o de 45 con el eje OX. ´ 17. Calcular los angulos que forman en sus puntos de corte las tangentes a la par´ bola a y = −x2 + 5x − 6 y el eje X. 18. ¿Qu´ puntos de la curva y 2 = 2x3 tienen tangente perpendicular a la recta de e ´ ecuacion 4x − 3y + 2 = 0 ? ´ 19. ¿Qu´ puntos de la curva y = x3 + 5 tienen tangente paralelaa la recta de ecuacion e 12x − y − 17 = 0 ?. ¿Y perpendicular a la recta x + 3y − 2 = 0? 20. Hallar la par´ bola de tipo y = x2 + bx + c que es tangente a la recta y = x en el a punto (1, 1) 21. Demostrar que las dos curvas 5y − 2x + y 3 − x2 y = 0 y 2y + 5x − x3 y 2 + x4 = 0 se cortan perpendicularmente en el origen. 22. Demostrar que la elipse 9y 2 + 4x2 y = 45 y la hip´ rbola x2 − 4y 2 = 5 sonortogoe nales.

Extremos de una funcion. Optimizacion ´ ´
23. Hallar los extremos de las siguientes funciones en los intervalos dados a) f (x) = −3x4 + 6x2 − 1 en [−2, 2] x3 − 2x2 + 3x + 1 en [−2, 2] 3 x−1 en [0, 4] c) f (x) = x+1 π π d) f (x) = sin(2x) − x en [− , + ] 2 2 b) f (x) = 24. Estudiar lo extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones:Fundamentos Matem´ ticos para la Ingenier´a. Curso 2012-2013. a ı

Tema 3. Hoja 4

a) f (x) = b) f (x) =

x2 − 6x + 8 1+x c) f (x) = √ x

√

4x3

10 − 9x2 + 6x

d) f (x) = e−x sin x x e) arctan 1 + x2 25. Entre los rect´ ngulos inscritos en una circunferencia de radio 12 cm. calcular el que a ´ tenga area m´ xima. a 26. Una hoja rectangular de per´metro 36 cm se enrolla...