Nakari
Páginas: 11 (2701 palabras)
Publicado: 5 de abril de 2015
Hipérbola
Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola (curvas rojas), C. Los dos puntos focales se denominan F1 y F2, la línea negra que los une es el eje transversal. La delgada línea perpendicular en negro que pasa por el centro es el ejeconjugado. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, D1 y D2. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde) desde un punto P de la hipérbola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia ±a con respecto alcentro.
Ecuaciones de la hipérbola[editar]
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas (0, 0) \, y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto (h, k) \,
\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1
Ejemplos:
a)
\frac{(x)^2}{25} -\frac{(y)^2}{9} = 1
b)
\frac{(y)^2}{9} - \frac{(x)^2}{25} = 1
Si el eje x es positivo, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.
Ecuación de la hipérbola en su forma compleja
Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos z\,, en el plano Re Im\,; tales que, cualesquiera deellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias |z-w_1|-|z-w_2|\,, a dos puntos fijos llamados focosw_1\, y w_2\,, es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea 2l\, ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.
La ecuación queda: |z-w_1|-|z-w_2|=2l\,
Evidentemente esta operación se lleva a cabo enel conjunto de los números complejos.
Elementos de la hipérbola[editar]
Eje mayor o real[editar]
El eje mayor es la recta de la hipérbola donde pertenecen los focos y los vértices de la misma. Su valor es 2a y es perpendicular al eje imaginario
Eje menor o imaginario.[editar]
El eje menor o imaginario no tiene puntos en común con la hipérbola. Sin embargo, siempre se cumple que las perpendiculareslanzadas por sus extremos cortan con las perpendiculares lanzadas por los extremos del eje mayor en 4 puntos que pueden servir para trazar las asíntotas.
Asíntotas[editar]
Son las rectas r y r' que pasan por el centro de la hipérbola y verifican que se acercan ramas de la misma tanto más cuanto más nos alejamos del centro de la hipérbola.
Las ecuaciones de las asíntotas son: r: y= b/a x r': y =-b/a x
Vértices[editar]
Los vértices de una hipérbola son los puntos donde ésta corta a sus ejes.
Focos[editar]
Son dos puntos, F_1 \,y\, F_2, respecto de los cuales permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto, x, de dicha hipérbola.
\vert d(F_1,x)-d(F_2,x)\vert=cte
Centro[editar]
Punto medio de los vértices y de los focos de la hipérbola.Tangentes[editar]
La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.
Elipse
Para el álbum de estudio de la banda mexicana Camila, véase Elypse.
La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros...
Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola (curvas rojas), C. Los dos puntos focales se denominan F1 y F2, la línea negra que los une es el eje transversal. La delgada línea perpendicular en negro que pasa por el centro es el ejeconjugado. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, D1 y D2. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde) desde un punto P de la hipérbola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia ±a con respecto alcentro.
Ecuaciones de la hipérbola[editar]
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas (0, 0) \, y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto (h, k) \,
\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1
Ejemplos:
a)
\frac{(x)^2}{25} -\frac{(y)^2}{9} = 1
b)
\frac{(y)^2}{9} - \frac{(x)^2}{25} = 1
Si el eje x es positivo, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.
Ecuación de la hipérbola en su forma compleja
Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos z\,, en el plano Re Im\,; tales que, cualesquiera deellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias |z-w_1|-|z-w_2|\,, a dos puntos fijos llamados focosw_1\, y w_2\,, es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea 2l\, ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.
La ecuación queda: |z-w_1|-|z-w_2|=2l\,
Evidentemente esta operación se lleva a cabo enel conjunto de los números complejos.
Elementos de la hipérbola[editar]
Eje mayor o real[editar]
El eje mayor es la recta de la hipérbola donde pertenecen los focos y los vértices de la misma. Su valor es 2a y es perpendicular al eje imaginario
Eje menor o imaginario.[editar]
El eje menor o imaginario no tiene puntos en común con la hipérbola. Sin embargo, siempre se cumple que las perpendiculareslanzadas por sus extremos cortan con las perpendiculares lanzadas por los extremos del eje mayor en 4 puntos que pueden servir para trazar las asíntotas.
Asíntotas[editar]
Son las rectas r y r' que pasan por el centro de la hipérbola y verifican que se acercan ramas de la misma tanto más cuanto más nos alejamos del centro de la hipérbola.
Las ecuaciones de las asíntotas son: r: y= b/a x r': y =-b/a x
Vértices[editar]
Los vértices de una hipérbola son los puntos donde ésta corta a sus ejes.
Focos[editar]
Son dos puntos, F_1 \,y\, F_2, respecto de los cuales permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto, x, de dicha hipérbola.
\vert d(F_1,x)-d(F_2,x)\vert=cte
Centro[editar]
Punto medio de los vértices y de los focos de la hipérbola.Tangentes[editar]
La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.
Elipse
Para el álbum de estudio de la banda mexicana Camila, véase Elypse.
La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros...
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