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TEMA 1.2. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS DE UN SISTEMA A OTRO.
SUBTEMA 1.2.1. DADO UN PUNTO O CAMPO ESCALAR EN CUALQUIER SISTEMA COORDENADO, TRANSFORMARLO A LOS OTROS DOS SISTEMAS COORDENADOS.COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.
Coordenadas cilíndricas.
Ya hemos tenido ocasión de comprobar que ciertas graficas bidimensionales son más fáciles de representar en coordenadas polares queen coordenadas rectangulares. Lo mismo ocurre con las superficies. En esta sección introducimos dos sistemas alternativos de coordenadas para el espacio. El primero, el sistema de coordenadascilíndricas, es una generalización de las coordenadas polares en el espacio.
EL SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS.
En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto p del espacio se representa porun trío ordenado (r, ө, z).
2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ө).
Para pasar de rectangulares a cilíndricas, o viceversa, hay que usar las siguientes formulas de conversión.Cilíndricas a rectangulares.
X = r cos ө, y = r sen ө, z = z
Rectangulares a cilindricas:
R2 =x2 + y2, tg ө =y/x, z = z.
El punto (0, 0,0) se llama el polo. Además, como la representación de unpunto en polares no es única, tampoco lo es en cilíndricas.
Ejemplo 1:
Expresar en coordenadas rectangulares el punto (r, ө, z) = (4,5π/6,3).
Solución:
X = 4 cos 5 π / 6 = 4 (-√3 / 2) = -2(√3).
Y = 4 sen 5 π/ 6 = 4 (1/2) = 2
Z = 3
Así pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) = (-2)( √ 3, 2, 2).
Ejemplo 2:
Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricaspara las superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuación:
x2 + y2 =4z2
y2 = x
Solución a)
Por la sección procedente sabemos que la grafica de x2 +y2 =4z2es un cono con su eje en el eje z. si sustituimos x2 + y2 por r2, obtenemos su ecuación en cilíndricas.
x2 +y2 =4z2 ecuación en coordenadas rectangulares.
r2 = 4z2 ecuación en coordenadas...