Nanotecnologia
ESCUELA: CETIS #166
GRUPO:3VI2
TURNO: VESPERTINO
MATERIA: GEOMETRIA ANALITICA
PROFESOR: JORGE ORTEGA MEDELLIN
CONICAS:
FECHA DE
ENTREGA:
05/10/09
Introducción: secciones cónicas
La hipérbola como sección cónica [pic] [pic]
La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola soncurvas planas de todos conocidas.
Estas curvas aparecían ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono con un plano.
[pic] [pic] La elipse como sección cónica
Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobarla falta de generalidad de los métodos de demostración lo que llevo a sustituir la visión puramente geométrica de las secciones cónicas por otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia. Esto llevo a la definición de estas curvas como lugares geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancia. (las cónicas como lugares geométricos).
La parábolacomo sección cónica [pic] [pic]
Finalmente se estableció una teoría algebraica general que engloba todas estas curvas y las describe como curvas cuadráticas. Es esta teoría la que presentamos a continuación.
INDICE
1.’INTODUCCION
2.’DEFINICION
3.’CLACIFICACION
4.’CENTRO
5.’ECUACION REDUCIDA
6.’ECUACION FOCAL
7.’CONICAS NO DEGENERADAS
Definición :
Una cónica esel lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado:
[pic]
La ecuación de una cónica se puede escribir en forma matricial como
[pic]
donde
[pic]
Una cónica queda pues definida por una matriz simétrica [pic]
En lo que sigue denotaremos por Aii a la matriz adjunta en A del elemento aii i=0,1,2 .
Ejemplo: [pic]
En el siguiente gráfico vemos la cónica que representa la ecuación cuadrática anterior
En este caso la matriz de la cónica y las matrices adjuntas correspondientes son
[pic]
Las figuras que represetan las ecuaciones cuadráticas pueden ser, además de elipses, hipérbolas y parábolas, pares de rectas tanto secantes como paralelas y estas últimas pueden ser distintas ocoincidentes. También puede darse el caso de que la ecuación sea verificada por un único punto o por ninguno. Alguna de estas últimas también se pueden obtener como secciones cónicas como se ve en las imágenes siguientes:
[pic] [pic] [pic]
A continuación estudiamos como se puede determinar que tipo de curva que define una ecuación cuadrática dada.
Clasificación de lascónicas
Existen ciertas cantidades asociadas a la matriz de la cónica que son invariantes respecto a los movimientos del plano (giros y traslaciones).
Si [pic] y [pic] son las matrices asociadas a la cónica después de que ésta ha sufrido un giro y una traslación, respectivamente, entonces
1) det A=det A'=det A'',
2) a11 + a22 = a'11+ a'22 = a''11 + a''22,
3) det A00 = det A'00 = det A''00.Tabla de Clasificación
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||det A00 ≠ 0 |
| |det A00 > 0 |
|det A ≠ 0 |signo (det A) = signo (a11+a22) Elipse imaginaria |
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