Narraciones matemáticas: formas de jordan

SERIE NARRACIONES MATEMÁTICAS

NARRACIÓN 1: “FORMAS DE JORDAN”

Lic. Silvia García

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
DEPTO. DE MATEMÁTICA
G.I.D.M.A.
(Instituto de Investigación y Docencia en Matemática Aplicada)

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INDICE

Prólogo

Observaciones PreliminaresINTRODUCCIÓN
OBJETIVO
RESULTADOS
1. Diagonalización
2. Valores, Vectores y Subespacios Propios
3. Forma de Jordan
4. Formas de Jordan Real y Compleja
APLICACIONES DE LOS RESULTADOS
Aplicación 1. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales.
Aplicación 2. Diagonalización de Formas Cuadráticas.
BIBLIOGRAFÍA.

Prólogo

Esta SERIE, NARRACIONES MATEMÁTICAS , pretende presentar de unamanera no habitual una serie de temas matemáticos que resultan generalmente difíciles y/o largos.

El objetivo es relatar los conceptos, propiedades, resultados, hasta completar el tema en un lenguaje más coloquial que lo que se estila normalmente en matemática.

Además, no incluir demostraciones sino enviar a textos de fácil acceso donde figuren las mismas.

Esta forma de presentación la heutilizado en distintas oportunidades en mi actividad docente tanto de grado como de posgrado. En estos casos, desarrollé el tema sin demostraciones tal cual expliqué anteriormente.

En los casos en que el tema es dado para ser aplicado a otros temas matemáticos o a otras ciencias, procedí a mostrar las aplicaciones.

Recomenzaba entonces la exposición luego de la narración basándome en quelos cursantes tenían asimilado el tema conceptualmente, realizando ahora sí las demostraciones correspondientes.

Habiendo evaluado que esta metodología resultó en una comprensión rápida y profunda por parte de los asistentes es que decidí comenzar esta SERIE cuya primera NARRACIÓN , titulada “FORMAS DE JORDAN” presento hoy.

* Procesó este Trabajo en la computadora: Estudiante Gustavo LOBOS
*Agradezco muchísimo al Est. Bruno Baltuska, quien en 2008 me hizo una serie de observaciones del trabajo –por suerte muchas de tipeo- que le dio más solidez al mismo.

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Observaciones Preliminares

Cada vez que aparezca ( se sugiere ver la demostración o aplicación del tema.
En todo lo que sigue la matriza transformar A es real y cuadrada de orden n.

INTRODUCCIÓN
Cuando trabajamos con gran cantidad de variables en sistemas lineales de distintos tipos y en distintas aplicaciones, aparecen involucradas matrices cuadradas. Aún cuando el orden de las mismas no sea demasiado grande, al realizar operaciones con ellas como [pic], la dificultad es sumamente grande, adquiriendo en algunos casosla categoría de imposibilidad.
Obviamente, estas dificultades se pierden si la matriz con la que estamos trabajando es “sumamente sencilla”. Por ejemplo, si la matriz es diagonal.
Dada una matriz A cuadrada, existe una transformación –usando una matriz P inversible- , llamada transformación de semejanza que nos hace obtener una segunda matriz, B , de la siguiente manera:
[pic]
¿Cómo ligamosel tema de trabajar con una matriz más sencilla, con el de la transformación de semejanza?
El asunto es que las transformaciones de semejanza preservan algunas propiedades, y transforman otras de una manera clara y fácil, y estas ventajas son las que aprovechamos en este tema.
Por ejemplo, si A y B son semejantes ( :
* Tienen los mismos valores característicos
* Se pasa de los vectorescaracterísticos de una a otra matriz por la misma
transformación P (o por [pic] según el sentido en que se pase de una matriz a otra).
* También: [pic]
La P que transforma A en B, también transforma a [pic] en [pic]
* De la misma manera: [pic] donde [pic] tomando [pic]

OBJETIVO
El problema del cual vamos a explicar la solución en este artículo, es el siguiente:...