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El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de una variable no constante con coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir, existe un número complejo que evaluado en elpolinomio da cero. Este incluye polinomios con coeficiente reales, ya que cualquier número real es un número complejo con parte imaginaria igual a cero.
Aunque ésta en principio parece ser unadeclaración débil, implica todo polinomio de grado n de una variable no constante con coeficientes complejos n tiene, contando con las multiplicidades, exactamente n raíces. La equivalencia de estos dosenunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales.
Hay muchas demostraciones de este importante resultado, que requieren bastantes conocimientos matemáticos paraformalizarlas. El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra.
El teorema se enuncia comúnmente de lasiguiente manera:
Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).1
Es ampliamente conocido también el enunciado:Un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces2 como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomiocomplejo p(z) de grado n ≥ 1, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades.
Otras formas equivalentes del teorema son:
El cuerpo de los complejos es cerrado para lasoperaciones algebraicas.
Todo polinomio complejo de grado n ≥ 1 se puede expresar como un producto de n polinomios lineales, es decir

Demostración
Sea  un polinomio de grado .  es una funciónentera. Para cada constante positiva , existe un número real positivo  tal que

Si  no tiene raíces, la función , es una función entera con la propiedad de que para cualquier número real  mayor que...