Nassir Sapag Chain- Formulacion Y Evaluacion De Proyectos

. 3CONVEXIDAD

3.1 Concepto de convexidad

Para mejorar la estimación que nos provee la duración cuando los cambios en la tasa de interés son significativos, debemos incorporar el concepto de convexidad.
Si realizásemos un gráfico, la relación precio de un bono / tasa de interés de un bono obtendríamos una curva convexa con respecto a la intersección de los ejes. Matemáticamente, la duraciónes la tangente a esa curva en un determinado punto (un valor de precio y de tasa de interés dado), de ahí que para cambios infinitesimales en la tasa de interés la duración nos de una aproximación adecuada del nuevo valor que alcanzará el precio.

Gráfico 1. Precio, rentabilidad y duración de un bono.

Sin embargo, a medida que nos alejamos de ese punto la tangente y la curva se separan y,por tanto, la duración por sí sola no nos da una buena aproximación del cambio en el precio del bono ante variaciones en el tipo de interés. Lo podemos ver en la Gráfico 1. La pendiente de la función del precio del bono en el punto P1 es la duración del bono para ese determinado precio (P1) y rentabilidad (I1). Si se produce un descenso del tipo desde I1 a I2, el precio del bono aumentará desde P1 aP2. Sin embargo, el aumento de precio que nos da la duración es solo de P1 a Pd.
Una aproximación más exacta se obtiene utilizando la duración más la convexidad de la curva. Esta última puede calcularse con la siguiente fórmula:

n
Convexidad (en años) = 1 x t x ( t + 1 ) x VPCFt a (8)
(1+i/k)2 t = 1 k x k x VPTCF

Donde:
i = tipode interés: tasa anual simple.
k = Número de pagos por año (k = 1 si los pagos son anuales, k = 2 si son semestrales, etc...).
n = Número de períodos hasta vencimiento.
t = Período en el que el flujo de fondos (cupón o valor par) será cobrado.
VPCFt = Valor presente del flujo en el período t descontado por la TAS.
VPTCF = Valor presente total del flujo de fondos del bono descontado porla TAS (o sea, el precio del bono).

3.2 Cálculo de la convexidad

Veamos como aplicamos esta fórmula al bono de nuestro ejemplo, emitido a tres años con cupón del 12 por 100 anual y que cotiza con TAS del 14 por 100.

a) La primera parte de la fórmula es:

1 = 1 = 1 = 0,8734
(1+i/k)2 (1+0,14/2)2 1.07

b) La segunda parte de lafórmula aparece en el Cuadro 8.

Cuadro 5. Cálculo de la convexidad

Períodos (semestres) hasta pago (1) | Pago (2) | Pago descontado al 7% semestral (3) | t ( t + 1 ) a k x k x VPTCF (4) | Segunda parte de la fórmula 5 = (3) x (4) |
1 | 6 | 5,61 | 0,0053 | 0,0295 |
2 | 6 | 5,24 | 0,0158 | 0,0825 |3 | 6 | 4,89 | 0,0315 | 0,1540 |
4 | 6 | 4,58 | 0,0525 | 0,2405 |
5 | 6 | 4,28 | 0,0788 | 0,3371 |
6 | 106 | 70,63 | 0,1103 | 7,7876 |
| | | | |
| Suma: | 95,23 | | 8,6312 |
Bono A: cupón del 12 por 100 pagadero semestralmente.

El primer elemento de la columna 5 lo hemos calculado delsiguiente modo:

t x (t+1) x VPCF = 1 x (1+1) x 5,61 = 0,0295
k x k x VPTCF 2 x 2 x 95,23

c) La convexidad será igual a a) por b): 0,8734 x 8,6312 = 7,54

3.3 Variación de precio explicada por convexidad

Como vimos anteriormente, la duración nos proporciona una primera aproximación de la variación que sufrirá el precio ante una variación del tipo de interés. La convexidadnos da una segunda aproximación, según la siguiente fórmula:

Precio debido
a convexidad = 1/2 x Convexidad x ( i)2 x 100 (9)

En nuestro ejemplo de un bono emitido a tres años con cupón del 12 por 100 anual y que cotiza con una TAS del 14 por 100, la convexidad obtenida aplicando la fórmula (8) es igual a 7,54. Por tanto, cuando la tasa de interés desciende del 14 por 100 al 4 por 100...