naturales

Los números naturales
Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar:

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Con los números naturales
se puede sumar. De hecho, con la
operación suma, los naturales forman un semigrupo conmutativo.
Con la operación producto los naturales también tienen estructura de
semigrupo conmutativo.
El infinito de los números naturales se denomina infinitonumerable.
Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con
el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable.
Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número , es
decir, el conjunto
cuando es distinto de 0, 1 y -1, es un
conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de
los racionales también son infinitosnumerables como se verá más
adelante.
El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir,
existe una relación de orden total, lo que significa que existe una
relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre
comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados
dos naturales, e , o bien
, o bien
.
Todo subconjunto no vacío del conjunto delos naturales tiene un
elemento mínimo, esto es, existe un elemento

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={1,2,3,4...}

tal que para todo

de se tiene
.
Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como
elemento mínimo a 2.
Principio de inducción matemática: si un subconjunto de verifica
que
o

y, si
, resulta que
, entonces
.
Esto nos permite realizar razonamientos por inducción cuandoqueremos probar que una determinada propiedad se cumple para
todo natural. Por ejemplo, si queremos probar que la suma de
los primeros números naturales es
inducción en la forma siguiente:

Para

podemos hacerlo por

es claro que la suma de los 1 primeros números

naturales es
.
Suponiendo cierta la fórmula para , es decir,
, veamos que también es cierta
para

,

Luego la fórmulaes válida para todo n natural.
o

Ejercicio: Demostrar, razonando por inducción, las siguientes
fórmulas:





Dados dos números naturales
, no es cierto en general que exista
un natural tal que
. Si tal existe se denomina cociente exacto
de por , y la división se denomina exacta. En este caso se dice que
es divisible por , o que es un divisor de , o que es un múltiplo
de .Cuando no es así, siempre es posible encontrar y que verifiquen
con
Los números , , y se denominan
dividendo, divisor, cociente y resto respectivamente y el procedimiento
para determinar y a partir de y se denomina división entera.

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Descomposición en factores primos:
Un número primo es aquél número natural que sólo es divisible por sí
mismo y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, 23, ..., son
números primos.
Hay infinitos números primos. Un famoso procedimiento para encontrar
números primos es la denominada criba de Eratóstenes, que consiste en
tomar una lista de los números naturales e ir tachando sucesivamente los
múltiplos de cada natural que aún no hubiera sido tachado previamente.

El uso de números primos grandes tiene aplicaciones en criptografía(ocultación de secretos).
Todo número natural admite una descomposición en producto de
números primos. Esta descomposición es única salvo el orden de los
primos considerados. En el siguiente recuadro tienes algunos ejemplos.

Encontrar la factorización de números grandes es un problema con
elevada complejidad computacional, de hecho no hay ningún algoritmo
eficiente para ello. Por esovarios sistemas criptográficos se basan en este
problema.

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Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo de
Euclides.
El máximo común divisor de dos números se define, como su propio
nombre indica, como el divisor más grande que ambos números tienen
en común. Si disponemos de la factorización de ambos números,
entonces el máximo común divisor se obtiene quedándose solamente...