Navier Stokes

Ecuaciones de Navier-Stokes
Las ecuaciones de Navier-Stokes consisten en un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.
Estas ecuaciones seobtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a suformulación diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de velocidad (ley deviscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.

Su expresiónvectorial se expresa:
∂V∂t=-1ρ∇p+G+v∇2u+ 13∇(∇.u)

En ecuaciones cartesianas

DuDt=-1ρ∂p∂x+gx+μ∇2u
DvDt=-1ρ∂p∂y+gy+μ∇2v
DwDt=-1ρ∂p∂z+gz+μ∇2w
DDt=∂∂t+u∂∂x+v∂∂y+w∂∂z
∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2

Enecuaciones cilíndricas

DvrDt-v∅2r=-1ρ∂p∂r+gr+μ(∇2vr-vrr2-2r2∂v∅∂∅)
Dv∅Dt+vrv∅r=-1ρr∂p∂∅+g∅+μ(∇2v∅-v∅r2+2r2∂vr∂∅)
DvzDt=-1ρ∂p∂z+gz+μ∇2vz
DDt=∂∂t+vr∂∂r+v∅r∂∂∅+vz∂∂z
∇2=∂2∂x2+1r∂∂r+1r2∂2∂∅2+∂2∂z2

Enecuaciones esféricas

DvrDt-v∅2+vθ2r=-1ρ∂p∂r+gr+μ(∇2vr-2vrr2-2r2∂wθ∂θ-2vθcotθr2-2r2senθ∂v∅∂∅)

DvθDt+vrv∅-v∅2cot∅r=-1ρr∂p∂θ+gθ+μ(∇2vθ-2r2∂vr∂θ-vθr2sen2θ-2cosθr2sen2θ∂v∅∂∅)DV∅Dt+vrv∅cot∅r+v∅vrr=-1ρrsenθ∂p∂θ+gθ+μ(∇2v∅+2r2sen2θ∂vr∂∅-v∅r2sen2θ+2cosθr2sen2θ∂vθ∂∅)
DDt=∂∂t+vr∂∂r+vθr∂∂θ+v∅rsenθ∂∂∅
∇2=1r2∂∂rr2∂∂r+1r2senθ∂∂rsenθ∂∂θ+1r2sen2θ∂2∂∅2

Gradiente
En cálculo vectorial, el gradiente de un campoescalar es un campo vectorial. El vector gradiente de evaluado en un punto genérico del dominio de , (), indica la dirección en la cual el campo varía más rápidamente y su módulo representa el ritmode variación de en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla seguido de la función.

Operador nabla
En geometría diferencial,...