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PROBLEMAS DE VECTORES

1.- Expresa el vector = (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores: = (1, 0, 1), =(1,1,0) y =(0,1,1):

2.- Siendo ú= (1, 0, 1), v= (1, 1, 0) y w= (0,1,1), demostrar que dichos vectores son linealmente independientes y expresa el vector m= (1, 2, 3) como combinación lineal de dichos vectores.
3.- Dados los vectores ú=(1, 2, 3), 'y= (2, 1, 0) y w= (-1, -1, 0), demostrar que dichos vectores forman una base y calcula las coordenadas del vector (1, -1, 0) respecto de dicha base.
4.-Dados los vectores: (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0,1,1).
a) Demostrar que forman una base.
b) Hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de esta base.
5.- Determinar el valor del parámetro k para que los vectoresx= kú - 2i + 3w y---ú+kv+wsean:
a) Ortogonales.
b) Paralelos.
6.- Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(l, 6, a), se pide:
a) Hallar para qué valores del parámetro a están alineados.
b) Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.
7.- Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a(2, -2, 3) y (3, -3, 2).
8.- Hallar un vector perpendicular a ú = (2, 3, 4) y v = (-1, 3, -5) y que sea unitario
9.- Dados los vectores ú = (1, 2, 3) y v = (2, 0, 1) , y w = (-1, 3, 0) hallar:
a) i• v , v• w, ú• w, v a ú.
b) úxv,úxw,vxú, vxw,
c) Cuxv) • w, (i3xW). ú,
d) J I IiI,
e) cos(U, v3) y cos v,
l0.- Dados los vectores ú = (3, 1, -1) y v = (2, 3, 4) hallar:
a) Los módulos de ú y v
b)El producto vectorial de ú y v
c) Un vector unitario ortogonal a u y v
d) El área del paralelogramo que tiene por lados los vectores ú y V
11.- Hallar el ángulo que forman los vectores ú(1,1, —1) y 3(2, 2, 1)
12.- Hallar los cosenos directores del vector ú(2, 2, 1)
13.- Dados los vectores ú = 31— J+ k y v = 21— 3j+ k , hallar el producto ú x v y comprobar que este vector es ortogonal a ú y av. Hallar el vector 3 x ú y compararlo con ú x v .
14.-Calcular el producto mixto: [x,i3xW,ixii ].
15.- Dados los vectores u (2, 1, 3) v (1, 2, 3) , y w (-1, —1, 0), hallar el producto mixto [i0 , :j; w ]• ¿Cuánto vale el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores dad s?
16.- Sean A(-3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(-1, 2, 1) los tres vértices de un triángulo. Se pide:
a) Calcularel coseno de cada uno de los tres ángulos del triángulo.
b) Calcular el área del triángulo.
17.-. Considerar la siguiente figura:
Se pide:
a) Coordenadas de D para qué ABCD sea un paralelogramo.
b) Área de este paralelogramo.
18.- Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide:
a) Hallar para qué valores del parámetro a están alineados.
b) Hallar si existen valores de a paralos cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.

CAPÍTULO 2 EJERCICIOS PROPUESTOS VECTORES
Revisado por Felipe Aguilar. Enero del 2007.
Ejercicio 2.1.- Un vector situado en el plano XY tiene una magnitud de 25 unidades y forma un ángulo de 37° con la abscisa. Determine sus componentes rectangulares.
Solución:
AX =20 Ay =15
a=(2,-1,7);c=(9,4,2); e=(0,0,0);

b=(9,4,2) d=(2,-1,7) f=(2,2,1)

rectangulares. Solución:
A X = 20 A y = 15

Solución:

A X = 7;

A y = 5;

A z = −5;

A = 9,9
θ Az = 120,3º; B = 9,9
θBz = 59,7º,

θAx = 45,0º; B X = −7;

θAy = 59,7º;

B y = −5;

Bz = 5;

θBx = 135,0º;

θBy = 120,3º;

Ejercicio 2.2.- La componente x de un vector que está en el plano XY es de 12 unidades, y lacomponente y es de 16 unidades. ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector?.
Solución: A=20
ox = 53,1°
C X = 2;

C y = 2;

Cz = 1;

C == 3 θCz = 70,5º

θCx = 48,2º;

θCy = 48,2º;

Ejercicio 2.3.- Encuentre las componentes rectangulares, las magnitudes y los ángulos
directores de los vectores Á,B y C que
van desde el punto a hasta el punto b, desde el punto c hasta el punto d y...