nemero aureo
Páginas: 16 (3905 palabras)
Publicado: 5 de marzo de 2014
EL NUMERO DE ORO, Φ = 1,618033989........
El número de oro, también conocido como razón áurea, suele representarse con la letra griega Φ, en
honor a Fidias, el arquitecto que diseñó el Partenón, (es un templo dedicado a la diosa Atenea que protege
la ciudad de Atenas), es el monumento más importante de la civilización griega antigua y se le considera
como una de las más bellas obrasarquitectónicas de la humanidad.
El descubrimiento de este número se atribuye a la escuela Pitagórica, de hecho los pitagóricos utilizaban
como símbolo la estrella de cinco puntas, en la que aparecen distintas razones ó proporciones áureas,
como veremos más adelante en el desarrollo de este tema.
Pero, ¿Por qué es tan importante este número?, ¿Qué mide?.
Este número aparece repetidamente en el mundoque nos rodea, primeramente en la naturaleza, en las
proporciones de los cuerpos de los seres vivos, en la forma de distribuirse hojas y flores en el tallo de las
plantas, y luego en todas las obras de la mano del hombre. Se ha usado como elemento de diseño en
construcciones arquitectónicas tan antiguas como la pirámide de Keops, siempre con el propósito de crear
belleza, armonía y perfección.1. EL NÚMERO DE ORO EN MATEMATICAS
Construir un rectángulo de oro y obtener el valor del número Φ es equivalente. Un rectángulo áureo es
aquel que se puede dividir en un cuadrado y otro rectángulo menor pero semejante al inicial.
A continuación se demuestra cuál debe ser la proporción entre los lados de un rectángulo para que este
sea áureo.
Partimos inicialmente de un cuadrado de lado 2unidades (el cuadrado puede
tener cualquier medida y el resultado numérico de Φ sería el mismo). En el
cuadrado ABCD se dibuja el punto medio M del lado AD, con centro en este
punto M y con un radio igual a la distancia MC se traza un arco de
circunferencia en sentido horario hasta que corte a la prolongación de la línea
horizontal AD, se obtiene así el punto E, se completa la construcciónhasta
obtener el rectángulo ABEF.
Este rectángulo tiene entre sus lados la relación á urea, es decir si se divide el lado mayor entre el lado
menor se obtiene el valor Φ.
lado grande = 1 +
lado grande
lado pequeño
5 ,
lado pequeño = 2,
= ϕ= 1 +
2
5
= 1,61803398 ....
También se puede dividir una longitud cualquiera en proporción áurea.
Tomamos un segmento cualquiera delongitud l , queremos calcular
cuánto debe medir cada una de las partes del segmento para que dichas
longitudes estén en proporción áurea. Supongamos que x es la parte
mayor y l–x la parte pequeña.
Estar en proporción áurea quiere decir que la relación entre la longitud total y la parte mayor es lo mismo
que la relación entre la parte mayor y la menor. l = x
x
realizamos los cálculos:
l
x=
x
l − x
⇒ l ⋅ (l − x ) = x
2
⇒ x
2
+ lx − l
2
= 0 ⇒ x =
l−x
5l
− l ±
2
2
l
−1+ 5
2
= 0,61803398 ⋅ l
l
−1− 5
2
= (negativo)
=
− 1,61803398 ⋅ l
El resultado nos dice que para que un segmento quede dividido en proporción áurea se debe cortar por el
61,803398% de su longitud.
2
Veámos ahora cuál es la relación entre lalongitud total y la parte mayor:
l
=
x
l
−1+ 5
l⋅
2
=
2
−1+
5
=
2 ⋅ ( 5 + 1)
( 5 − 1) ⋅ ( 5 + 1 )
=
1+
2
5
= 1,6183398.....
justo el número de Oro.
Si consideremos un pentágono regular, en el cual se han dibujado las diagonales, y contamos la cantidad
de triángulos diferentes que aparecen en toda la figura, observaremos que solamente hay 2 tipos detriángulos isósceles, y cualquier otro sería semejante a uno de estos dos, estos triángulos se llaman aúreos
ó también triángulos de Robinson. Vamos a utilizarlos para demostrar que la diagonal y el lado de un
pentágono regular están en relación áurea :
Los triángulos T1 y T2 son semejantes (dejamos la demostración como ejercicio ).
Escribimos entonces la relación de semejanza para sus lados :...
El número de oro, también conocido como razón áurea, suele representarse con la letra griega Φ, en
honor a Fidias, el arquitecto que diseñó el Partenón, (es un templo dedicado a la diosa Atenea que protege
la ciudad de Atenas), es el monumento más importante de la civilización griega antigua y se le considera
como una de las más bellas obrasarquitectónicas de la humanidad.
El descubrimiento de este número se atribuye a la escuela Pitagórica, de hecho los pitagóricos utilizaban
como símbolo la estrella de cinco puntas, en la que aparecen distintas razones ó proporciones áureas,
como veremos más adelante en el desarrollo de este tema.
Pero, ¿Por qué es tan importante este número?, ¿Qué mide?.
Este número aparece repetidamente en el mundoque nos rodea, primeramente en la naturaleza, en las
proporciones de los cuerpos de los seres vivos, en la forma de distribuirse hojas y flores en el tallo de las
plantas, y luego en todas las obras de la mano del hombre. Se ha usado como elemento de diseño en
construcciones arquitectónicas tan antiguas como la pirámide de Keops, siempre con el propósito de crear
belleza, armonía y perfección.1. EL NÚMERO DE ORO EN MATEMATICAS
Construir un rectángulo de oro y obtener el valor del número Φ es equivalente. Un rectángulo áureo es
aquel que se puede dividir en un cuadrado y otro rectángulo menor pero semejante al inicial.
A continuación se demuestra cuál debe ser la proporción entre los lados de un rectángulo para que este
sea áureo.
Partimos inicialmente de un cuadrado de lado 2unidades (el cuadrado puede
tener cualquier medida y el resultado numérico de Φ sería el mismo). En el
cuadrado ABCD se dibuja el punto medio M del lado AD, con centro en este
punto M y con un radio igual a la distancia MC se traza un arco de
circunferencia en sentido horario hasta que corte a la prolongación de la línea
horizontal AD, se obtiene así el punto E, se completa la construcciónhasta
obtener el rectángulo ABEF.
Este rectángulo tiene entre sus lados la relación á urea, es decir si se divide el lado mayor entre el lado
menor se obtiene el valor Φ.
lado grande = 1 +
lado grande
lado pequeño
5 ,
lado pequeño = 2,
= ϕ= 1 +
2
5
= 1,61803398 ....
También se puede dividir una longitud cualquiera en proporción áurea.
Tomamos un segmento cualquiera delongitud l , queremos calcular
cuánto debe medir cada una de las partes del segmento para que dichas
longitudes estén en proporción áurea. Supongamos que x es la parte
mayor y l–x la parte pequeña.
Estar en proporción áurea quiere decir que la relación entre la longitud total y la parte mayor es lo mismo
que la relación entre la parte mayor y la menor. l = x
x
realizamos los cálculos:
l
x=
x
l − x
⇒ l ⋅ (l − x ) = x
2
⇒ x
2
+ lx − l
2
= 0 ⇒ x =
l−x
5l
− l ±
2
2
l
−1+ 5
2
= 0,61803398 ⋅ l
l
−1− 5
2
= (negativo)
=
− 1,61803398 ⋅ l
El resultado nos dice que para que un segmento quede dividido en proporción áurea se debe cortar por el
61,803398% de su longitud.
2
Veámos ahora cuál es la relación entre lalongitud total y la parte mayor:
l
=
x
l
−1+ 5
l⋅
2
=
2
−1+
5
=
2 ⋅ ( 5 + 1)
( 5 − 1) ⋅ ( 5 + 1 )
=
1+
2
5
= 1,6183398.....
justo el número de Oro.
Si consideremos un pentágono regular, en el cual se han dibujado las diagonales, y contamos la cantidad
de triángulos diferentes que aparecen en toda la figura, observaremos que solamente hay 2 tipos detriángulos isósceles, y cualquier otro sería semejante a uno de estos dos, estos triángulos se llaman aúreos
ó también triángulos de Robinson. Vamos a utilizarlos para demostrar que la diagonal y el lado de un
pentágono regular están en relación áurea :
Los triángulos T1 y T2 son semejantes (dejamos la demostración como ejercicio ).
Escribimos entonces la relación de semejanza para sus lados :...
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