neofuncionalismo

Factorial de un N´umero Entero Positivo

ma
te

Carlos Torres
www.edumate.wordpress.com

1.

Introducci´
on

El estudio del factorial de un n´
umero entero positivo (Z+ ) es de sumaimportancia
en esta parte del ´
algebra, ya que este objeto matem´atico ayudar´
a a produndizar temas
como el Binomio de Newton 1 . Al respecto, se presenta un esbozo de la teor´ıa de factorial
deun n´
umero entero positivo, junto con las propiedades que nos ayudar´an a enfrentar
diferentes tipos de problemas.

2.

Definici´
on

Edu

El factorial de un n´
umero entero positivo sedefine como el producto que se obtiene
de multiplicar los n´
umeros enteros desde 1 hasta el n´
umero n indicado en el factorial. La
notaci´on de factorial que usaremos es la siguiente: n!.2 Alrespecto, la definici´on queda
expresada en s´ımbolos as´ı:

n! = 1 × 2 × 3 × 4 × . . . × (n − 1) × n

Tambi´en:

n! = n × (n − 1) × (n − 2) × (n − 3) × . . . × 2 × 1

n

k

n! =

k=1Donde n ∈ Z+
Ejemplos:

Z+ = {1, 2, 3, ...}
algunos textos es com´
un utilizar otras notaciones como: n⌋, ⌊n

1 Considerar

2 El

1

3 PROPIEDADES
1! = 1
3! = 1 × 2 × 3 = 6
4! = 1 × 2 ×3 × 4 = 24

Nota:

ma
te

3
3
! = ∄, ya que ∈
/ Z+
2
2
√
√
2! = ∄, ya que 2 ∈
/ Z+

Para el caso de factorial de cero (0!) se toma por convenci´
on el valor de 1. Entonces,
0! = 13.

Propiedades

1. n! = n (n − 1)! ; n ≥ 2
La prueba es directa, para ello usamos la definici´on de factorial:
n! = 1 × 2 × 3 × 4 × . . . × (n − 1) ×n
(n−1)!

de lo que se desprende que:n! = n (n − 1)!

2. Si n! = m! ; ⇔ n = m∀n, m ∈ Z+ − {1}
Un caso especial de esta propiedad est´
a relacionado con la siguiente igualdad:
n! = 1! para lo cual siguiendo lo enunciado n = 1, perotambi´en se cumple para
n = 0.
3. n (n!) = (n + 1)! − n!
La prueba es inmediata, ya que:

(n + 1)! − n! = (n + 1) n! − n! = n! (n + 1 − 1) = n (n!)

Edu

Nota:

En general, no es posible...