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BLOQUE TEMÁTICO I: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.

TEMA 2: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.

1.- INTRODUCCIÓN.

Hasta ahora hemos estudiado una sola característica de una población (talla, peso, estado civil,...), pero podríamos estudiar simultáneamente varias de ellas. Concretamente, en este tema, estudiaremos a la vez dos características de una población. Ejemplos:
1.- Peso y altura deuna muestra de 100 personas.
2.- Extensión en km y número de habitantes en los distintos países de Europa.
3.- Número de horas que dedican los estudiantes a ver la televisión y resultados académicos.
4.- Producción y ventas de una fábrica.
5.- Edad y número de días que faltan al trabajo los trabajadores de una fábrica...
A este tipo de variable estadística se le llama bidimensional.Frecuentemente, nos interesa estudiar la relación que existe entre dos características de una población. Este es el objeto de la “Regresión lineal”.

2. VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES:

Son las que resultan de la observación de un fenómeno respecto de dos modalidades. Se representan por el par (X, Y), donde X es una variable estadística unidimensional que toma los valores x, x, ... x;e Y es otra variable estadística unidimensional que toma los valores y, y, ... y; por tanto, la variable estadística bidimensional (X, Y) toma los valores:
(x, y), (x, y), ...( x, y); o bien (x, y), (1 i .n)
Si representamos estos pares en un sistema de ejes cartesianos se obtiene un conjunto de puntos sobre el plano que se denomina diagrama de dispersión o nube de puntos.

3.-TABLASBIDIMENSIONALES DE FRECUENCIAS:

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo1: Se observaron las edades de cinco niños y sus pesos respectivos, y se consiguieron los resultados siguientes:

Edad (años)
2
4’5
6
7’2
8
Peso (Kg)
15
19
25
33
34
Su diagrama de dispersión es:










Ejemplo 2: Las calificaciones obtenidas por 40 alumnos en Matemáticas y Física son:

X= NotasMatemáticas
3 4 5 6 6 7 7 8 10
Y= Notas Física
2 5 5 6 7 6 7 9 10
Nº de alumnos
4 6 12 4 5 4 2 1 2
Esto significa que, por ejemplo, hay 4 alumnos en total que han sacado un 3 en Matemáticas y un dos en Física.
A este tipo de tabla se le denomina tabla simple. Su diagrama de dispersión es:


Ejemplo 3: Se han clasificado 50 familias conarreglo al número de hijos (X) e hijas (Y), obteniéndose los siguientes resultados:

yx
0
1
2
3
4
5
6

0
2
-
4
3
1
-
-
10
1
3
-
9
-
-
3
-
15
2
-
6
-
6
-
-
1
13
3
1
4
-
-
2
1
-
8
4
-
-
2
-
1
-
-
3
5
-
-
-
1
-
-
-
1

6
10
15
10
4
4
1
50

A este tipo de tabla se le denomina tabla de doble entrada.
Estas tablas seutilizan cuando se trata de muchos datos o bien los valores se encuentran agrupados en intervalos.
Observa que toda tabla de doble entrada se puede transformar en una tabla simple.
El diagrama de dispersión del ejemplo 3 es:



4) CÁLCULO DE PARÁMETROS ESTADÍSTICOS:

Sea una variable estadística bidimensional (X, Y). En general presentan la siguiente forma:

VARIABLE X xVARIABLE Y
y
FRECUENCIA ABSOLUTA f
x
y
f
x
y
f
x
y
f
.......
.......
.......
x
y
f

N = f= nº total de datos.

Recordemos las definiciones de media y varianza para distribuciones de variable estadística unidimensional:


Variable X
Variable Y
Media
=
=
Varianza

x2= Sx2==
y2= Sy2==

x2= Sx2= -
y2= Sy2= - y



Se llama desviación típica de una variableestadística a la raíz cuadrada positiva de la varianza. Por ello tenemos también dos desviaciones típicas:  y  .

Veamos un nuevo parámetro:

Covarianza o varianza conjunta:
Se llama covarianza de una variable estadística bidimensional (X, Y) a la media aritmética de los productos de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias respectivas. Se representa por...