Newton Raphson Método Aplicado

Universidad Experimental Simón Bolívar Departamento de Mecánica Mecánica computacional I Enero-Marzo 2012 Profesor: Paulo Teixeira

Proyecto
Integrantes:

Caracas, 26 de Marzo de 2012

Descripción del problema físico:

Se tienen dos tuberías horizontales A y B, de secciones transversales y diámetros internos y externos conocidos (distintos para cada una) que transportan un fluidodesconocido en el problema. A cada una se le coloca una serie de aislantes (uno a la vez) para disminuir la pérdida de calor desde la parte interior de cada tubería hacia el ambiente. Al mismo tiempo se conocen dos valores de emisividad para el aislante, el primero cuando el mismo tiene un recubrimiento de pintura y de esta forma aumentar las posibilidades de disminuir la perdida de calor y el otrocuando no tiene algún tratamiento. Para este problema se pide determinar la tasa de pérdida de calor Q, la variación de T2 y T3 en cada tubería (A y B) a partir de la ecuación

tomando en cuenta cada uno de los valores de emisividad y los grosores de cada aislante. Se tenían los siguientes valores conocidos:

Método numérico usado:

Para llevar a cabo la resolución de este problema se decidióutilizar el método numérico de Newton Rapshon para sistemas de ecuaciones no lineales, el cual es un método iterativo que depende de una semilla inicial (en este caso sería un vector semilla) y consiste en despejar cada una de las ecuaciones, e igualarlas a cero para convertirlas en funciones. Posteriormente se determina la matriz de derivadas parciales de dicho sistema de ecuaciones [Jacobiana] yse evalúa en la semilla inicial. Del mismo modo se evalúa las funciones en dicha semilla para obtener un vector columna {b} y así crear una matriz ampliada [Jacobiana b] y se resuelve el sistema [Jacobiana]*{Y}={b}, donde {Y} es un vector de variables [y1;y2;y3]. Por último al vector semilla inicial se le resta el vector solución {Y} y se obtiene el nuevo valor de la semilla. Este proceso serepetirá hasta que se cumplan los criterios iniciales de tolerancia y error exigido por el problema, al final se obtendrá un vector con los valores de cada una de las incógnitas del sistema de ecuaciones dado, en este caso las incógnitas del problema son T2, T3 y Q. Para obtener los diferentes valores de T2, T3 y Q se deberá variar el valor de los diámetros (para la tubería A y la tubería B), losvalores de emisividad y el espesor del aislante. El resultado que arroja las distintas variaciones en conjunto con el método de Newton Raphson se acomoda en matrices de 5 filas y 3 columnas y una tercera dimensión que representa un arreglo con las mismas dimensiones. Los valores de T2, T3 y Q aparecerán en la columna de cada matriz que varían en función del espesor en cada fila. Para cada tubería seobtendrán así 2 matrices (5x3), en las que el primer arreglo matricial corresponde al primer valor de la emisividad y el segundo arreglo al otro valor de la emisividad. Para graficar Q en función del espesor, se guardará en un vector de 5 filas y 1 columna los valores de Q correspondientes a cada matriz obtenida anteriormente, por lo que se deberán tener 4 vectores que serán las cuatro combinacionesde tubería-emisividad; lo mismo se hace para graficar T3.

Para graficar las temperaturas en función a la posición se decide construir una matriz para las temperaturas y otra para las posiciones. La matriz de las posiciones tendrá 5 filas y 4 columnas. En las columnas deberá variar solamente la posición r3 –es la suma de r2 con cada espesor- y r4 –es la suma de r3 mas un valor pequeño-, ya quelas posiciones r1 y r2 se mantienen constantes para cada tubería. Para la matriz de temperatura, que también es una matriz 5x4, en la primera columna y a última, T1 y Ta respectivamente, los valores de las temperaturas serán constantes y los valores de T2 y T3 serán tomados de cada una de las matrices 5x3 calculada anteriormente. Con esto se obtendrán 2 matrices de posición (una para cada...