Newton raphson
Páginas: 4 (844 palabras)
Publicado: 15 de octubre de 2013
Cálculo científico y técnico con
HP49g/49g+/48gII/50g
Módulo 3: Aplicaciones
Tema 3.1 Resolución aproximada de
ecuaciones: Método de Newton-Raphson
Francisco Palacios
Escuela PolitécnicaSuperior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Catalunya
Dep. Matemática Aplicada III
Abril 2008, versión 1.3
1
Introducción
El método de Newton-Raphson es un método iterativo quenos permite
aproximar la solución de una ecuación del tipo f (x) = 0.
Partimos de una estimación inicial de la solución x0 y construimos una
sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediantela fórmula
xj+1 = xj −
f (xj )
.
f 0 (xj )
Por ejemplo, consideremos la ecuación
ex =
1
.
x
En este caso es imposible despejar la incógnita, no obstante, si representamos
las curvasy = ex , y = 1/x en el intervalo x ∈ [0, 4], es evidente que la
ecuación tiene una solución en este intervalo.
1
Para aplicar el método de Newton-Raphson, seguimos los siguientes pasos:
1.Expresamos la ecuación en la forma f (x) = 0, e identificamos la función f. En el ejemplo es
f (x) = ex −
1
.
x
f 0 (x) = ex +
1
.
x2
2. Calculamos la derivada
3. Construimos lafórmula de recurrencia
xj+1 = xj −
exj −
exj +
1
xj
1
x2
j
.
4. Tomamos una estimación inicial de la solución. En este caso podemos
tomar por ejemplo x0 = 1.0, y calculamos lassiguientes aproximaciones. Desde el punto de vista práctico, si deseamos aproximar la
solución con 6 decimales, podemos detener los cálculos cuando dos
aproximaciones consecutivas coincidan hasta el decimal8. En nuestro
caso, obtendríamos
x0 = 1.0,
x1 = 1 −
x2
e1 − 1
1
= 0. 53788284,
e1 + 112
= x1 −
ex1 −
ex1 +
1
x1
1
x2
1
= 0. 56627701,
x3 = 0. 56714 258,
x4 = 0. 56714329,
x5 = 0. 56714 329.
5. Podemos, entonces, tomar como solución x = 0.567143.
Si empleamos la aplicación de resolución numérica de ecuaciones de la calculadora1 , resulta
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Numeric...
HP49g/49g+/48gII/50g
Módulo 3: Aplicaciones
Tema 3.1 Resolución aproximada de
ecuaciones: Método de Newton-Raphson
Francisco Palacios
Escuela PolitécnicaSuperior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Catalunya
Dep. Matemática Aplicada III
Abril 2008, versión 1.3
1
Introducción
El método de Newton-Raphson es un método iterativo quenos permite
aproximar la solución de una ecuación del tipo f (x) = 0.
Partimos de una estimación inicial de la solución x0 y construimos una
sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediantela fórmula
xj+1 = xj −
f (xj )
.
f 0 (xj )
Por ejemplo, consideremos la ecuación
ex =
1
.
x
En este caso es imposible despejar la incógnita, no obstante, si representamos
las curvasy = ex , y = 1/x en el intervalo x ∈ [0, 4], es evidente que la
ecuación tiene una solución en este intervalo.
1
Para aplicar el método de Newton-Raphson, seguimos los siguientes pasos:
1.Expresamos la ecuación en la forma f (x) = 0, e identificamos la función f. En el ejemplo es
f (x) = ex −
1
.
x
f 0 (x) = ex +
1
.
x2
2. Calculamos la derivada
3. Construimos lafórmula de recurrencia
xj+1 = xj −
exj −
exj +
1
xj
1
x2
j
.
4. Tomamos una estimación inicial de la solución. En este caso podemos
tomar por ejemplo x0 = 1.0, y calculamos lassiguientes aproximaciones. Desde el punto de vista práctico, si deseamos aproximar la
solución con 6 decimales, podemos detener los cálculos cuando dos
aproximaciones consecutivas coincidan hasta el decimal8. En nuestro
caso, obtendríamos
x0 = 1.0,
x1 = 1 −
x2
e1 − 1
1
= 0. 53788284,
e1 + 112
= x1 −
ex1 −
ex1 +
1
x1
1
x2
1
= 0. 56627701,
x3 = 0. 56714 258,
x4 = 0. 56714329,
x5 = 0. 56714 329.
5. Podemos, entonces, tomar como solución x = 0.567143.
Si empleamos la aplicación de resolución numérica de ecuaciones de la calculadora1 , resulta
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